Winkelsumme im Dreieck und Winkel an Geraden
Du lernst, warum die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben, und nutzt Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.
So funktioniert es
In jedem Dreieck gilt: Die drei Innenwinkel ergeben zusammen 180°.
α + β + γ = 180°
Das kannst du selbst ausprobieren: Schneide ein Papierdreieck aus, reiße die drei Ecken ab und lege sie nebeneinander. Sie bilden zusammen einen gestreckten Winkel.
Winkel an Geraden
- Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergänzen sich zu 180°.
- Scheitelwinkel liegen sich an einer Kreuzung gegenüber und sind gleich groß.
- Werden zwei parallele Geraden von einer dritten geschnitten, sind Stufenwinkel (gleiche Lage an beiden Kreuzungen) und Wechselwinkel (Z-Form) gleich groß.
Warum 180°?
Zeichne durch eine Ecke des Dreiecks eine Parallele zur gegenüberliegenden Seite. An dieser Ecke liegen dann drei Winkel nebeneinander, die einen gestreckten Winkel bilden. Die beiden äußeren sind Wechselwinkel zu den beiden anderen Dreieckswinkeln. Also sind alle drei Innenwinkel zusammen 180°.
Besondere Dreiecke
- Gleichseitiges Dreieck: alle Winkel 60°
- Gleichschenkliges Dreieck: die zwei Basiswinkel sind gleich groß
- Rechtwinkliges Dreieck: ein Winkel ist 90°, die anderen beiden ergeben zusammen 90°
Auch für Vierecke gibt es eine Regel: Die Innenwinkel ergeben 360°, weil man jedes Viereck in zwei Dreiecke zerlegen kann.
Kurz gemerkt
Im Dreieck ergeben die Innenwinkel 180°, im Viereck 360°. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel sind gleich groß.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- γ = 180° − 48° − 67°
Ergebnis γ = 65°
Beispiel 2
- Für beide Basiswinkel bleiben 180° − 40° = 140°.
- Sie sind gleich groß: 140° : 2 = 70°.
Ergebnis Beide Basiswinkel sind 70° groß.
Jetzt bist du dran
Ein Dreieck hat die Winkel 90° und 35°. Wie groß ist der dritte?
Lösung anzeigen
180° − 90° − 35° = 55°
Der Nebenwinkel von 125° ist?
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180° − 125° = 55°
Kann ein Dreieck zwei stumpfe Winkel haben?
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Nein. Zwei Winkel über 90° ergeben schon mehr als 180°.
Ein Viereck hat die Winkel 80°, 95° und 110°. Wie groß ist der vierte?
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360° − 285° = 75°
Darauf solltest du achten
Die Winkelsumme im Viereck wird mit 180° angesetzt.
Ein Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen: 2 · 180° = 360°.
Scheitelwinkel werden als Nebenwinkel behandelt und auf 180° ergänzt.
Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 7 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.