Übungsgenerator · Klasse 8 bis 9
Satz des Pythagoras üben: Hypotenuse und Kathete berechnen
Aufgaben zu Hypotenuse und Katheten, in Stufe 3 als Sachaufgaben, mit Skizze im Kopf und Lösungsweg, dazu ein Rechner für eigene Werte.
Beispielrechnung
- Satz des Pythagoras: a² + b² = c², gesucht ist die Hypotenuse c.
- Einsetzen: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- Wurzel ziehen: c = √100 ≈ 10
Ergebnis c = 10
Plausibel: c ist länger als jede Kathete, aber kürzer als a + b = 14.
Der Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck: Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse, a² + b² = c². Mit ihm berechnest du eine fehlende Seite, wenn zwei Seiten bekannt sind.
Der Generator wechselt zwischen gesuchter Hypotenuse und gesuchter Kathete. In Stufe 3 stecken die Dreiecke in Sachaufgaben, etwa eine Leiter an einer Wand oder die Diagonale eines Bildschirms. Ergebnisse werden auf zwei Nachkommastellen gerundet erwartet.
So benutzt du den Pythagoras-Rechner
- Hypotenuse finden: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist immer die längste Seite.
- Formel wählen: Hypotenuse gesucht: c = √(a² + b²). Kathete gesucht: a = √(c² − b²).
- Rechnen: Erst quadrieren, dann addieren oder subtrahieren, zuletzt die Wurzel ziehen.
- Runden und prüfen: Runde auf zwei Nachkommastellen. Die Hypotenuse muss länger sein als jede Kathete.
Pythagoreische Zahlentripel
Manche Dreiecke haben nur ganzzahlige Seiten. Die bekanntesten Tripel sind 3, 4, 5 sowie 5, 12, 13 und 8, 15, 17. Auch Vielfache davon funktionieren, etwa 6, 8, 10. Handwerker nutzen das 3-4-5-Dreieck seit Jahrtausenden, um rechte Winkel abzustecken.
Typische Fehler
- Die Wurzel aus der Summe mit der Summe der Wurzeln verwechseln: √(9 + 16) = 5, aber √9 + √16 = 7.
- Bei gesuchter Kathete addieren statt subtrahieren.
- Den Satz auf Dreiecke ohne rechten Winkel anwenden.
- Verschiedene Einheiten mischen, etwa cm und m.
Weitere Beispiele mit Rechenweg
Häufige Fragen
Gilt der Satz des Pythagoras in jedem Dreieck?
Nein, nur im rechtwinkligen Dreieck. Für andere Dreiecke gibt es in der Oberstufe den Kosinussatz, der den Pythagoras als Sonderfall enthält.
Wie erkenne ich, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
Mit der Umkehrung des Satzes: Gilt a² + b² = c² für die drei Seiten, ist das Dreieck rechtwinklig.
Welche Einheiten darf ich verwenden?
Beliebige, solange alle Seiten dieselbe Einheit haben. Das Ergebnis hat dann ebenfalls diese Einheit.