Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Du lernst die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens kennen und berechnest damit fehlende Winkel und Seiten.
So funktioniert es
Der Satz des Pythagoras verbindet die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Um auch Winkel zu berechnen, braucht man die trigonometrischen Funktionen.
Gegenkathete und Ankathete
Bezogen auf einen spitzen Winkel α unterscheidet man:
- Hypotenuse: gegenüber dem rechten Winkel, die längste Seite
- Gegenkathete: liegt dem Winkel α gegenüber
- Ankathete: liegt am Winkel α an (und ist nicht die Hypotenuse)
Welche Kathete Gegen- und welche Ankathete ist, hängt vom betrachteten Winkel ab.
Die drei Verhältnisse
| Funktion | Definition |
|---|---|
| sin α | Gegenkathete : Hypotenuse |
| cos α | Ankathete : Hypotenuse |
| tan α | Gegenkathete : Ankathete |
Eine bekannte Eselsbrücke ist „GAGA HummelHummel AG“: Sinus = G/H, Kosinus = A/H, Tangens = G/A.
Winkel berechnen
Kennst du zwei Seiten, berechnest du das Verhältnis und nutzt die Umkehrfunktion auf dem Taschenrechner (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹). Stelle den Rechner auf Grad (DEG).
Seiten berechnen
Kennst du einen Winkel und eine Seite, stellst du die passende Formel um. Beispiel: Hypotenuse 10 cm, α = 30°. Gegenkathete = 10 cm · sin 30° = 5 cm.
Besondere Werte
sin 30° = 0,5; cos 60° = 0,5; tan 45° = 1; sin 90° = 1; cos 0° = 1.
Kurz gemerkt
sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse, tan α = Gegenkathete/Ankathete. Zuerst festlegen, welche Seite zum Winkel welche Rolle hat. Taschenrechner auf DEG.
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- Höhe = Gegenkathete, Rampenlänge = Hypotenuse
- sin α = 0,5 : 4 = 0,125
- α = sin⁻¹(0,125) ≈ 7,2°
Ergebnis Der Steigungswinkel beträgt etwa 7,2°.
Beispiel 2
- Abstand = Ankathete, Höhe = Gegenkathete
- tan 50° = h : 30 m
- h = 30 m · tan 50° ≈ 35,8 m
Ergebnis Der Turm ist etwa 35,8 m hoch.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Hypotenuse 8 cm, α = 40°. Berechne die Ankathete.
Lösung anzeigen
8 · cos 40° ≈ 6,13 cm
Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm. Berechne α.
Lösung anzeigen
tan α = 512, α ≈ 22,6°
Eine Leiter (6 m) lehnt im Winkel von 70° zum Boden an einer Wand. Wie hoch reicht sie?
Lösung anzeigen
6 · sin 70° ≈ 5,64 m
Typische Fehler
Ankathete und Gegenkathete werden verwechselt, weil der falsche Winkel betrachtet wird.
Markiere vor dem Rechnen den Winkel und beschrifte die Seiten aus seiner Sicht.
Der Taschenrechner steht auf RAD, sin 30 ergibt −0,988.
Für Grad muss der Rechner auf DEG stehen. Dann ist sin 30° = 0,5.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 10 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.