Strahlensätze und zentrische Streckung
Mit den Strahlensätzen berechnest du unbekannte Längen über Verhältnisse, etwa die Höhe eines Baumes oder die Breite eines Flusses.
Worum es geht
Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt Z werden von zwei parallelen Geraden geschnitten. Dann entstehen Streckenverhältnisse, die gleich sind. Das sind die Strahlensätze.
Bezeichnungen: Auf dem ersten Strahl liegen die Schnittpunkte A und A', auf dem zweiten B und B'. Die Parallelen sind AB und A'B'.
Erster Strahlensatz
Die Abschnitte auf den Strahlen stehen im gleichen Verhältnis:
ZA : ZA' = ZB : ZB'
Zweiter Strahlensatz
Die Abschnitte auf den Parallelen stehen im gleichen Verhältnis wie die zugehörigen Abschnitte vom Scheitel aus:
AB : A'B' = ZA : ZA'
Wichtig: Beim zweiten Strahlensatz müssen die Strahlenabschnitte vom Scheitel Z aus gemessen werden, nicht zwischen den Parallelen.
Zentrische Streckung
Die Figur kann man auch als Vergrößerung sehen: Das Dreieck ZA'B' ist eine vergrößerte Kopie von ZAB mit dem Streckfaktor k = ZA' : ZA. Alle Längen werden mit k multipliziert, Flächen mit k².
Anwendung: Baumhöhe
Ein 1,80 m großer Mensch wirft einen 2,40 m langen Schatten, ein Baum zur gleichen Zeit einen 20 m langen. Weil die Sonnenstrahlen parallel sind, gilt h : 1,80 = 20 : 2,40, also h = 15 m.
Kurz gemerkt
Bei parallelen Geraden gilt: ZA : ZA' = ZB : ZB' (1. Strahlensatz) und AB : A'B' = ZA : ZA' (2. Strahlensatz). Strecken beim zweiten Satz immer vom Scheitel aus messen.
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- ZA' = ZA + AA' = 10 cm
- 2. Strahlensatz: A'B' : AB = ZA' : ZA
- A'B' = 3 cm · 10 : 4 = 7,5 cm
Ergebnis A'B' = 7,5 cm
Beispiel 2
- h : 2 = 36 : 1,6
- h = 2 · 36 : 1,6 = 45
Ergebnis Der Turm ist 45 m hoch.
Übungsaufgaben mit Lösungen
ZB = 5 cm, ZB' = 15 cm, ZA = 4 cm. Berechne ZA'.
Lösung anzeigen
ZA' = 4 · 15 : 5 = 12 cm
Ein Dreieck wird mit k = 3 gestreckt. Wie verändert sich die Fläche?
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Sie wird 3² = 9-mal so groß.
Eine Person (1,60 m) steht 2 m vor einer Laterne und wirft 2 m Schatten. Wie hoch ist die Laterne?
Lösung anzeigen
Vom Schattenende aus: h : 1,60 = 4 : 2, also h = 3,20 m.
Typische Fehler
Beim zweiten Strahlensatz wird AB : A'B' = AA' : ZA gesetzt.
Die Strahlenabschnitte müssen am Scheitel Z beginnen: AB : A'B' = ZA : ZA'.
Die Strahlensätze werden auch ohne parallele Geraden angewendet.
Die Parallelität ist Voraussetzung. Ohne sie gelten die Verhältnisse nicht.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 9 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.