Übungsgenerator · Klasse 7 bis 8
Lineare Gleichungen üben: Zufallsaufgaben mit Umformungsschritten
Lineare Gleichungen von 3x = 12 bis zu Klammern auf beiden Seiten, mit jedem Äquivalenzumformungsschritt und Probe.
Beispielrechnung
- −2x auf beiden Seiten: 3x + 3 = 18
- −3 auf beiden Seiten: 3x = 15
- Durch 3 teilen: x = 15 : 3 = 5
- Probe: linke Seite 28, rechte Seite 28, stimmt.
Ergebnis x = 5; Lösungsmenge L = {5}
Eine lineare Gleichung löst du, indem du sie Schritt für Schritt umformst, bis x allein auf einer Seite steht. Wichtig ist dabei: Was du auf einer Seite tust, musst du auch auf der anderen tun. Der Generator übt genau das, von einfachen Gleichungen wie 4x + 7 = 31 bis zu Gleichungen mit x auf beiden Seiten.
Im Löser für eigene Aufgaben gibst du eine Gleichung der Form ax + b = cx + d ein. Du siehst jede Umformung einzeln, die Lösungsmenge und die Probe, die zeigt, dass die Lösung stimmt. Gleichungen ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen werden erkannt.
So benutzt du den Gleichungslöser
- Sortieren: Bringe alle x-Terme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere, jeweils mit der Gegenoperation.
- Zusammenfassen: Fasse gleichartige Terme zusammen, bis die Form ax = b dasteht.
- Teilen: Teile durch die Zahl vor dem x.
- Probe machen: Setze die Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Beide Seiten müssen denselben Wert ergeben.
Äquivalenzumformungen
Erlaubt sind alle Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern: auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren und beide Seiten mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren oder durch sie teilen. Hinter jede Zeile schreibt man die Umformung mit einem senkrechten Strich, zum Beispiel | − 3.
Sonderfälle
Fällt x beim Umformen ganz weg, gibt es zwei Möglichkeiten. Bleibt eine wahre Aussage wie 5 = 5, ist jede Zahl eine Lösung. Bleibt eine falsche Aussage wie 3 = 7, hat die Gleichung keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer.
Typische Fehler
- Vorzeichen beim Herüberbringen vergessen: Aus 2x + 5 = 11 wird 2x = 6, nicht 2x = 16.
- Nur einen Teil einer Seite teilen: (4x + 8) : 4 ist x + 2, nicht x + 8.
- Klammern mit Minus davor falsch auflösen: −(x − 3) ist −x + 3.
- Die Probe weglassen: Sie kostet eine Minute und findet fast jeden Rechenfehler.
Weitere Beispiele mit Rechenweg
Häufige Fragen
Was ist eine lineare Gleichung?
Eine Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt, also kein x² oder 1/x. Ihr Graph wäre eine Gerade, daher der Name.
Warum soll ich eine Probe machen?
Die Probe zeigt sofort, ob die Lösung stimmt. In Klassenarbeiten bringt sie oft einen eigenen Punkt und deckt Vorzeichenfehler auf.
Kann der Löser auch Gleichungen mit Klammern?
Löse die Klammern zuerst auf und fasse zusammen, dann hat die Gleichung die Form ax + b = cx + d. Im Generator kommen Klammeraufgaben in Stufe 3 vor.
Wie schreibe ich die Lösungsmenge?
Mit geschweiften Klammern: L = {5}. Hat die Gleichung keine Lösung, schreibt man L = { }.