Lineare Gleichungen lösen mit Äquivalenzumformungen
Du lernst, Gleichungen wie 3x + 5 = x + 17 systematisch zu lösen und das Ergebnis mit der Probe zu prüfen.
Die Grundlagen
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen. Eine Zahl, die die Gleichung beim Einsetzen wahr macht, heißt Lösung. Bei 3x + 5 = 17 ist x = 4 die Lösung, denn 3 · 4 + 5 = 17.
Die Waage als Bild
Stell dir die Gleichung als Waage im Gleichgewicht vor. Solange du auf beiden Seiten dasselbe tust, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Solche Schritte heißen Äquivalenzumformungen:
- auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren
- beide Seiten mit derselben Zahl (nicht 0) multiplizieren oder durch sie dividieren
Das Lösungsrezept
- Klammern auflösen und jede Seite vereinfachen.
- Alle x-Glieder auf eine Seite bringen.
- Alle Zahlen auf die andere Seite bringen.
- Durch die Zahl vor dem x teilen.
- Probe: Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen.
Die Umformung schreibt man hinter einem senkrechten Strich auf: | −5 oder | : 3.
Sonderfälle
Fällt x beim Umformen ganz weg, gibt es zwei Möglichkeiten. Bleibt eine wahre Aussage wie 4 = 4, ist jede Zahl eine Lösung. Bleibt eine falsche Aussage wie 4 = 7, gibt es keine Lösung.
Merksatz
Auf beiden Seiten immer dasselbe tun. Erst vereinfachen, dann x-Glieder auf eine Seite, Zahlen auf die andere, zuletzt durch den Faktor vor x teilen und die Probe machen.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- | −2x: 3x − 7 = 8
- | +7: 3x = 15
- | : 3: x = 5
- Probe: 5 · 5 − 7 = 18 und 2 · 5 + 8 = 18
Ergebnis x = 5
Beispiel 2
- Klammer auflösen: 3x − 6 = 4x + 1
- | −3x: −6 = x + 1
- | −1: −7 = x
- Probe: 3 · (−9) = −27 und 4 · (−7) + 1 = −27
Ergebnis x = −7
Mehr Aufgaben gefällig?
Lineare Gleichungen üben: Zufallsaufgaben mit Umformungsschritten: Lineare Gleichungen von 3x = 12 bis zu Klammern auf beiden Seiten, mit jedem Äquivalenzumformungsschritt und Probe.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Löse 4x + 9 = 33.
Lösung anzeigen
4x = 24, x = 6
Löse 7x − 3 = 2x + 22.
Lösung anzeigen
5x = 25, x = 5
Löse 2(x + 5) = 3x − 4.
Lösung anzeigen
2x + 10 = 3x − 4, also 14 = x
Löse x3 + 4 = 10.
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x3 = 6, also x = 18
Löse 2x + 3 = 2x + 5.
Lösung anzeigen
3 = 5 ist falsch. Die Gleichung hat keine Lösung.
Typische Fehler
Bei 3x = 15 wird auf beiden Seiten 3 subtrahiert: x = 12.
Die 3 ist ein Faktor. Man teilt durch 3: x = 5.
Beim Herüberbringen eines Terms wird das Vorzeichen nicht gewechselt.
Rechne bewusst auf beiden Seiten minus bzw. plus, dann passieren keine Vorzeichenfehler.
Hinweis zur Klassenstufe
Die Einordnung in Klasse 7 folgt verbreiteten Lehrplänen. Maßgeblich ist, was deine Lehrkraft für die Arbeit angekündigt hat.