Lineare Funktionen: Steigung, y-Achsenabschnitt und Graph
Du lernst die Funktionsgleichung y = mx + b kennen, liest Steigung und Achsenabschnitt ab, zeichnest Geraden und stellst Gleichungen aus zwei Punkten auf.
Worum es geht
Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Eine lineare Funktion hat die Gleichung
f(x) = mx + b
Ihr Graph ist eine Gerade.
Die Bedeutung von m und b
- b ist der y-Achsenabschnitt: An dieser Stelle schneidet die Gerade die y-Achse, im Punkt (0 | b).
- m ist die Steigung: Gehst du eine Einheit nach rechts, geht die Gerade um m Einheiten nach oben (bei negativem m nach unten).
Ist m positiv, steigt die Gerade; ist m negativ, fällt sie; ist m = 0, verläuft sie waagerecht.
Zeichnen mit dem Steigungsdreieck
Bei f(x) = 23x − 1 markierst du zuerst (0 | −1). Von dort gehst du 3 nach rechts und 2 nach oben und kommst zu (3 | 1). Durch beide Punkte ziehst du die Gerade.
Gleichung aus zwei Punkten
Gegeben sind P(1 | 3) und Q(4 | 9).
- Steigung: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) = (9 − 3) : (4 − 1) = 2
- b berechnen: Setze einen Punkt in y = 2x + b ein: 3 = 2 · 1 + b, also b = 1
- Ergebnis: f(x) = 2x + 1
Nullstelle
Die Nullstelle ist der x-Wert, an dem die Gerade die x-Achse schneidet. Du findest sie, indem du f(x) = 0 setzt: 2x + 1 = 0, also x = −0,5.
Im Alltag
Ein Handyvertrag mit 5 € Grundgebühr und 0,10 € pro Minute wird durch f(x) = 0,1x + 5 beschrieben. Die Grundgebühr ist der y-Achsenabschnitt, der Minutenpreis die Steigung.
Merksatz
f(x) = mx + b: b ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, m die Steigung (1 nach rechts, m nach oben). Steigung aus zwei Punkten: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁).
Beispiele
Beispiel 1
- m = (−1 − 7) : (2 − (−2)) = −8 : 4 = −2
- Einsetzen von B: −1 = −2 · 2 + b, also b = 3
Ergebnis f(x) = −2x + 3
Beispiel 2
- 0,5x − 3 = 0
- 0,5x = 3
Ergebnis x = 6, die Gerade schneidet die x-Achse in (6 | 0).
Aufgaben zum Üben
Wie lauten Steigung und y-Achsenabschnitt von f(x) = −3x + 4?
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m = −3, b = 4
Liegt der Punkt (2 | 5) auf der Geraden y = 3x − 1?
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3 · 2 − 1 = 5. Ja.
Bestimme die Gerade durch (0 | 2) und (5 | 12).
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m = 10 : 5 = 2, b = 2, also y = 2x + 2.
Wann kosten bei f(x) = 0,1x + 5 die Gespräche 12 €?
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0,1x + 5 = 12, x = 70 Minuten.
Häufige Fehler vermeiden
Bei y = 2x + 3 wird die 2 als y-Achsenabschnitt gedeutet.
Die Zahl ohne x ist der Achsenabschnitt (3), die Zahl vor dem x die Steigung (2).
Bei der Steigung aus zwei Punkten wird x durch y geteilt.
Es gilt m = Δy : Δx, also Höhenunterschied durch Breitenunterschied.
Hinweis zur Klassenstufe
Die Einordnung in Klasse 8 folgt verbreiteten Lehrplänen. Maßgeblich ist, was deine Lehrkraft für die Arbeit angekündigt hat.