Prisma und Zylinder: Volumen und Oberfläche
Du berechnest Volumen und Oberfläche von Prismen und Zylindern mit der Regel Grundfläche mal Höhe.
Schritt für Schritt erklärt
Ein Prisma ist ein Körper mit zwei gleichen, parallelen Grundflächen, die durch Rechtecke verbunden sind. Der Quader ist ein Prisma mit rechteckiger Grundfläche. Ein Zylinder ist wie ein Prisma, nur mit einem Kreis als Grundfläche, zum Beispiel eine Konservendose.
Volumen
Für alle Prismen und Zylinder gilt die gleiche Regel:
V = G · h (Grundfläche mal Höhe)
- Dreiecksprisma: G = 12 · g · h_g (Fläche des Dreiecks)
- Zylinder: G = π · r², also V = π · r² · h
Die Höhe h ist dabei der Abstand zwischen den beiden Grundflächen, nicht die Höhe des Dreiecks.
Oberfläche
Die Oberfläche besteht aus zwei Grundflächen und der Mantelfläche:
O = 2 · G + M
Die Mantelfläche ist ausgerollt ein Rechteck. Seine Länge ist der Umfang der Grundfläche, seine Breite die Körperhöhe: M = u · h.
Beim Zylinder: M = 2πr · h, also O = 2πr² + 2πrh.
Einheiten
Volumen in cm³, m³ oder Liter (1 dm³ = 1 l), Oberfläche in cm² oder m². Wandle vor dem Rechnen alle Längen in dieselbe Einheit um.
Merke
Prisma und Zylinder: V = G · h und O = 2 · G + M mit M = Umfang der Grundfläche · Höhe. Zylinder: V = πr²h, O = 2πr² + 2πrh.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- V = π · 4² · 11 = π · 176 ≈ 552,9 cm³
- O = 2π · 16 + 2π · 4 · 11 = 32π + 88π = 120π ≈ 377,0 cm²
Ergebnis V ≈ 553 cm³ (gut ein halber Liter), O ≈ 377 cm²
Beispiel 2
- G = 12 · 6 · 4 = 12 cm²
- V = 12 cm² · 10 cm = 120 cm³
Ergebnis V = 120 cm³
Übungen
Volumen eines Zylinders mit r = 3 cm und h = 10 cm?
Lösung anzeigen
V = π · 9 · 10 ≈ 282,7 cm³
Mantelfläche dieses Zylinders?
Lösung anzeigen
M = 2π · 3 · 10 ≈ 188,5 cm²
Ein Zylinder fasst 1 Liter und hat r = 5 cm. Wie hoch ist er?
Lösung anzeigen
1 000 cm³ = π · 25 · h, h ≈ 12,7 cm
Darauf solltest du achten
Beim Zylinder wird für die Mantelfläche πr² · h gerechnet.
Das ist das Volumen. Die Mantelfläche ist ein Rechteck aus Umfang und Höhe: 2πr · h.
Bei der Oberfläche wird nur eine Grundfläche gezählt.
Ein Prisma hat zwei Grundflächen, oben und unten: O = 2G + M.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 8 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.