Kreis: Umfang und Flächeninhalt mit π
Du lernst die Kreiszahl π kennen und berechnest Umfang, Fläche, Kreisbögen und Kreisausschnitte.
Die Grundlagen
Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich. Diese Zahl heißt Kreiszahl π (Pi) und beträgt ungefähr 3,14159. π hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Muster. Für die Schule rechnest du mit der π-Taste des Taschenrechners oder mit 3,14.
Bezeichnungen
- Radius r: Abstand vom Mittelpunkt zum Rand
- Durchmesser d: einmal quer durch den Mittelpunkt, d = 2r
Formeln
| Größe | Formel |
|---|---|
| Umfang | u = 2 · π · r = π · d |
| Flächeninhalt | A = π · r² |
Achte darauf, ob in der Aufgabe der Radius oder der Durchmesser gegeben ist. Ein häufiger Fehler ist, für die Fläche den Durchmesser zu quadrieren.
Kreisausschnitt und Kreisbogen
Ein Kreisausschnitt ist ein Tortenstück mit dem Mittelpunktswinkel α. Er ist der Anteil α360° des ganzen Kreises:
- Bogenlänge: b = 2πr · α : 360°
- Fläche des Ausschnitts: A = πr² · α : 360°
Rückwärts rechnen
Ist die Fläche gegeben, stellst du nach r um: r = √(A : π). Ist der Umfang gegeben: r = u : (2π).
Kurz gemerkt
u = 2πr = πd und A = πr². Für Teile des Kreises mit dem Anteil α/360° multiplizieren.
Beispiele
Beispiel 1
- r = 0,6 m
- u = π · 1,2 m ≈ 3,77 m
- A = π · (0,6 m)² = π · 0,36 m² ≈ 1,13 m²
Ergebnis u ≈ 3,77 m, A ≈ 1,13 m²
Beispiel 2
- r² = 50 cm² : π ≈ 15,92 cm²
- r = √15,92 cm² ≈ 3,99 cm
Ergebnis r ≈ 3,99 cm
Jetzt bist du dran
Umfang eines Kreises mit r = 5 cm?
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u = 2 · π · 5 ≈ 31,42 cm
Fläche eines Kreises mit d = 10 cm?
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r = 5 cm, A = π · 25 ≈ 78,54 cm²
Ein Fahrradreifen hat 70 cm Durchmesser. Wie weit rollt er bei einer Umdrehung?
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π · 70 cm ≈ 219,9 cm, also etwa 2,20 m.
Fläche eines Viertelkreises mit r = 8 cm?
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π · 64 : 4 ≈ 50,27 cm²
Häufige Fehler vermeiden
Für die Fläche wird der Durchmesser quadriert: A = π · d².
Die Formel verwendet den Radius: A = π · r². Mit d wäre das Ergebnis viermal zu groß.
Umfang und Fläche werden verwechselt: A = 2πr.
2πr ist der Umfang (Länge in cm), πr² die Fläche (in cm²).
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 8 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.