Wahrscheinlichkeit: Laplace-Experimente und Baumdiagramme

So funktioniert es

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ergebnis man nicht vorhersagen kann, etwa ein Würfelwurf. Alle möglichen Ergebnisse bilden die Ergebnismenge, beim Würfel {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ein Ereignis ist eine Auswahl von Ergebnissen, zum Beispiel „gerade Zahl“ = {2, 4, 6}.

Laplace-Regel

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, heißt das Experiment Laplace-Experiment. Dann gilt:

P(E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse : Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Beim Würfel ist P(gerade Zahl) = 36 = 12 = 0,5 = 50 %.

Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist P(nicht E) = 1 − P(E).

Mehrstufige Experimente

Wirfst du zweimal eine Münze, zeichnest du ein Baumdiagramm: Erste Stufe mit den Ästen Kopf und Zahl, an jedem Ende wieder zwei Äste. Zwei Regeln helfen:

• Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
• Summenregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten.

P(zweimal Kopf) = 12 · 12 = 14.

Mit und ohne Zurücklegen

In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Ziehst du zweimal mit Zurücklegen, bleiben die Wahrscheinlichkeiten gleich. Ohne Zurücklegen ändern sie sich: Ist die erste Kugel rot, sind nur noch 2 rote von 4 Kugeln übrig.

Relative Häufigkeit

Wirft man sehr oft, nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit an. Das nennt man das empirische Gesetz der großen Zahlen.