Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel
Du berechnest bedingte Wahrscheinlichkeiten mit Vierfeldertafel und Baumdiagramm, prüfst Unabhängigkeit und verstehst, warum positive Tests oft täuschen.
Worum es geht
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) (auch P(A | B) geschrieben) ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist:
P_B(A) = P(A ∩ B) : P(B)
Man betrachtet also nur noch die Fälle, in denen B eintritt, und fragt, welcher Anteil davon auch A ist.
Die Vierfeldertafel
Zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen ordnest du in einer Tabelle an. Beispiel: 1 000 Personen, Merkmal „krank“ (K) und „Test positiv“ (T):
| T | nicht T | Summe | |
|---|---|---|---|
| K | 18 | 2 | 20 |
| nicht K | 49 | 931 | 980 |
| Summe | 67 | 933 | 1 000 |
Daraus liest du ab: P_K(T) = 18 : 20 = 0,9 (90 % der Kranken werden erkannt). Aber P_T(K) = 18 : 67 ≈ 0,269. Nur etwa 27 % der positiv Getesteten sind wirklich krank, weil die Krankheit selten ist und es viele falsch positive Ergebnisse gibt.
Baumdiagramm und umgekehrter Baum
Im Baumdiagramm stehen auf der zweiten Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten. Fragt die Aufgabe nach der umgekehrten Bedingung, hilft die Vierfeldertafel oder der Satz von Bayes: P_B(A) = P(A) · P_A(B) : P(B).
Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Dann gilt auch P_B(A) = P(A): Das Wissen über B ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit von A.
Kurz gemerkt
P_B(A) = P(A ∩ B) : P(B). Achte genau darauf, welches Ereignis die Bedingung ist. Unabhängig heißt P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Beispiele
Beispiel 1
- I: Instrument, C: Chor. P(I) = 0,6, P(I ∩ C) = 0,15
- P_I(C) = 0,15 : 0,6
Ergebnis P_I(C) = 0,25. Da auch P(C) = 0,25 ist, sind die Ereignisse unabhängig.
Beispiel 2
- P(K ∩ T) = 0,01 · 0,95 = 0,0095
- P(nicht K ∩ T) = 0,99 · 0,02 = 0,0198
- P(T) = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293
- P_T(K) = 0,0095 : 0,0293 ≈ 0,324
Ergebnis Nur etwa 32 %.
Jetzt bist du dran
P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. Sind A und B unabhängig?
Lösung anzeigen
0,4 · 0,5 = 0,2. Ja.
P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,12. P_B(A)?
Lösung anzeigen
0,12 : 0,3 = 0,4
Aus der Vierfeldertafel oben: Wie wahrscheinlich ist ein negativer Test bei einer gesunden Person?
Lösung anzeigen
P_nicht K(nicht T) = 931 : 980 = 0,95
Häufige Fehler vermeiden
P_T(K) und P_K(T) werden gleichgesetzt.
Die Bedingung macht den Unterschied: 90 % der Kranken sind positiv, aber nur etwa 27 % der Positiven sind krank.
Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit wird durch die Gesamtzahl statt durch die Bedingung geteilt.
Teile durch die Anzahl bzw. Wahrscheinlichkeit des Bedingungsereignisses.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 13 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.