Ebenen im Raum: Parameterform, Normalenform, Koordinatenform
Du stellst Ebenengleichungen in drei Formen auf, wandelst sie ineinander um und berechnest Schnittpunkte von Geraden mit Ebenen.
Schritt für Schritt erklärt
Eine Ebene im Raum wird durch drei Punkte festgelegt, die nicht auf einer Geraden liegen, oder durch einen Punkt und zwei Richtungen.
Parameterform
E: x = p + r · u + s · v
p ist ein Stützvektor, u und v sind zwei nicht kollineare Spannvektoren. Durch drei Punkte A, B, C: E: x = A + r · (B − A) + s · (C − A).
Normalenform
Ein Normalenvektor n steht senkrecht auf der Ebene. Für jeden Punkt X der Ebene gilt dann:
E: (x − p) · n = 0
Koordinatenform
Multipliziert man die Normalenform aus, entsteht:
E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d mit d = p · n
Die Koeffizienten vor x₁, x₂, x₃ sind direkt die Koordinaten des Normalenvektors. Die Koordinatenform ist für Punktproben und Schnittpunkte am bequemsten.
Umwandeln von Parameterform in Koordinatenform
- Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt n = u × v bestimmen.
- d = p · n berechnen.
Spurpunkte
Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt. Bei 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12 sind das (6 | 0 | 0), (0 | 4 | 0) und (0 | 0 | 2).
Gerade schneidet Ebene
Setze die Koordinaten der Geradengleichung in die Koordinatenform ein, löse nach t und setze t in die Gerade ein. Kommt keine Lösung heraus, ist die Gerade parallel zur Ebene; gilt die Gleichung für jedes t, liegt sie in der Ebene.
Merke
Parameterform x = p + ru + sv, Normalenform (x − p) · n = 0, Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d. Die Koeffizienten der Koordinatenform bilden den Normalenvektor.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- u = B − A = (−1 | 2 | 0), v = C − A = (−1 | 0 | 3)
- n = u × v = (2 · 3 − 0 · 0 | 0 · (−1) − (−1) · 3 | (−1) · 0 − 2 · (−1)) = (6 | 3 | 2)
- d = A · n = 6
Ergebnis E: 6x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 6
Beispiel 2
- Einsetzen: 6t + 3t + 2t = 6 → 11t = 6 → t = 611
Ergebnis Schnittpunkt S(611 | 611 | 611)
Jetzt bist du dran
Liegt P(1 | 1 | 1) in E: 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4?
Lösung anzeigen
2 − 1 + 3 = 4. Ja.
Nenne einen Normalenvektor von E: x₁ − 4x₂ + 2x₃ = 7.
Lösung anzeigen
n = (1 | −4 | 2)
Berechne die Spurpunkte von E: 3x₁ + 2x₂ + x₃ = 6.
Lösung anzeigen
(2 | 0 | 0), (0 | 3 | 0), (0 | 0 | 6)
Häufige Fehler vermeiden
Der Normalenvektor wird aus der Parameterform direkt abgelesen.
In der Parameterform stehen Spannvektoren. Den Normalenvektor liefert das Kreuzprodukt.
In der Koordinatenform wird d vergessen und = 0 gesetzt.
d = p · n hängt vom Stützpunkt ab. Nur Ebenen durch den Ursprung haben d = 0.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 13 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.