Skalarprodukt, Orthogonalität und Winkel zwischen Vektoren
Mit dem Skalarprodukt prüfst du, ob Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und berechnest Winkel zwischen Vektoren und Geraden.
So funktioniert es
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (ein Skalar), kein Vektor:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Für a = (1 | 2 | 3) und b = (4 | −1 | 2) ist a · b = 4 − 2 + 6 = 8.
Orthogonalität
Zwei Vektoren (ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:
a ⊥ b ⇔ a · b = 0
Beispiel: (2 | 1 | −2) · (1 | 2 | 2) = 2 + 2 − 4 = 0, also senkrecht.
Winkel zwischen zwei Vektoren
cos φ = (a · b) : (|a| · |b|)
Der Winkel liegt zwischen 0° und 180°. Ist das Skalarprodukt negativ, ist der Winkel stumpf.
Winkel zwischen zwei Geraden
Zwischen Geraden gibt man den Schnittwinkel als Winkel zwischen 0° und 90° an. Deshalb nimmt man den Betrag im Zähler: cos φ = |u · v| : (|u| · |v|).
Normalenvektor finden
Einen Vektor n, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, brauchst du für Ebenen. Du findest ihn über zwei Gleichungen n · a = 0 und n · b = 0 oder mit dem Kreuzprodukt a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ | a₃b₁ − a₁b₃ | a₁b₂ − a₂b₁).
Kurz gemerkt
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Senkrecht genau dann, wenn a · b = 0. Winkel: cos φ = (a · b)/(|a| · |b|), bei Geraden mit Betrag im Zähler.
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- a · b = 0 + 0 + 1 = 1
- |a| = √2, |b| = √2
- cos φ = 1 : 2 = 0,5
Ergebnis φ = 60°
Beispiel 2
- Skalarprodukt: 2 + 4k − 6 = 0
- 4k = 4
Ergebnis k = 1
Übungsaufgaben mit Lösungen
Stehen (3 | −1 | 2) und (1 | 5 | 1) senkrecht?
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3 − 5 + 2 = 0. Ja.
Skalarprodukt von (2 | 2 | 1) und (−1 | 3 | 4)?
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−2 + 6 + 4 = 8
Winkel zwischen (1 | 0 | 0) und (1 | 1 | 0)?
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cos φ = 1 : (1 · √2) ≈ 0,707, φ = 45°.
Berechne das Kreuzprodukt (1 | 0 | 0) × (0 | 1 | 0).
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(0 · 0 − 0 · 1 | 0 · 0 − 1 · 0 | 1 · 1 − 0 · 0) = (0 | 0 | 1)
Typische Fehler
Das Skalarprodukt wird als Vektor (a₁b₁ | a₂b₂ | a₃b₃) angegeben.
Die Produkte werden addiert, das Ergebnis ist eine Zahl.
Beim Winkel zwischen Geraden wird ein stumpfer Winkel angegeben.
Der Schnittwinkel zweier Geraden liegt zwischen 0° und 90°. Mit Betrag im Zähler rechnen oder 180° minus den stumpfen Winkel.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 12 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.