Stammfunktionen und unbestimmtes Integral
Du lernst das Aufleiten als Umkehrung des Ableitens kennen und bestimmst Stammfunktionen mit den Integrationsregeln.
Das Wichtigste verständlich erklärt
Beim Ableiten gehst du von f zu f'. Beim Integrieren (umgangssprachlich „Aufleiten“) gehst du den umgekehrten Weg: Gesucht ist eine Funktion F, deren Ableitung f ist. F heißt Stammfunktion von f.
F'(x) = f(x)
Warum gibt es viele Stammfunktionen?
F(x) = x² ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x. Aber auch x² + 5 oder x² − 3 haben die Ableitung 2x, weil die Konstante beim Ableiten wegfällt. Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante C. Man schreibt das unbestimmte Integral:
∫ 2x dx = x² + C
Regeln
| Funktion f(x) | Stammfunktion F(x) |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | 1n+1 · xⁿ⁺¹ |
| k (Konstante) | k · x |
| eˣ | eˣ |
| sin x | −cos x |
| cos x | sin x |
| 1x (x > 0) | ln x |
Faktor- und Summenregel gelten wie beim Ableiten: Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden gliedweise integriert.
Kontrolle durch Ableiten
Jede Stammfunktion kannst du sofort prüfen: Leite sie ab. Kommt f heraus, stimmt sie.
Bestimmte Stammfunktion
Ist zusätzlich ein Punkt gegeben, durch den F gehen soll, lässt sich C berechnen. Soll F(x) = x² + C durch (1 | 4) gehen, ist 4 = 1 + C, also C = 3.
Das musst du dir merken
F ist Stammfunktion von f, wenn F' = f. Potenzregel rückwärts: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Die Konstante C nicht vergessen und durch Ableiten prüfen.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
- ∫ 6x² dx = 6 · x³3 = 2x³
- ∫ −4x dx = −4 · x²2 = −2x²
- ∫ 3 dx = 3x
- Probe: (2x³ − 2x² + 3x)' = 6x² − 4x + 3
Ergebnis F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C
Beispiel 2
- 1x² = x⁻², also F(x) = x⁻¹−1 + C = −1x + C
- P einsetzen: 2 = −1 + C, also C = 3
Ergebnis F(x) = −1x + 3
Übungen
∫ x⁴ dx = ?
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15x⁵ + C
∫ (3x² + 2) dx = ?
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x³ + 2x + C
∫ cos x dx = ?
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sin x + C
Stammfunktion von f(x) = 2eˣ mit F(0) = 5?
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F(x) = 2eˣ + C, 5 = 2 + C, also F(x) = 2eˣ + 3.
Hier passieren die meisten Fehler
Beim Aufleiten von x³ wird 3x² geschrieben.
Das ist die Ableitung. Die Stammfunktion ist 14x⁴.
Die Integrationskonstante C wird weggelassen.
Beim unbestimmten Integral gibt es unendlich viele Stammfunktionen, deshalb gehört + C dazu.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 12 ist der häufigste Zeitpunkt.