Ableitungsregeln: Potenz-, Faktor- und Summenregel
Mit drei Regeln leitest du jede ganzrationale Funktion in Sekunden ab, ohne Grenzwerte zu berechnen.
Erklärung
Den Grenzwert des Differenzenquotienten jedes Mal neu zu berechnen wäre mühsam. Zum Glück gibt es Regeln, die immer gelten.
Potenzregel
f(x) = xⁿ → f'(x) = n · xⁿ⁻¹
Der Exponent wandert als Faktor nach vorne und wird um 1 kleiner. Beispiele: (x⁵)' = 5x⁴, (x²)' = 2x, (x)' = 1.
Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten: (1x)' = (x⁻¹)' = −x⁻² = −1x² und (√x)' = (x^½)' = ½ x^(−½) = 12√x.
Konstante
Die Ableitung einer Konstanten ist 0. Eine waagerechte Gerade hat die Steigung 0: (7)' = 0.
Faktorregel
Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten: (c · f(x))' = c · f'(x). Also (4x³)' = 4 · 3x² = 12x².
Summenregel
Summen werden gliedweise abgeleitet: (f + g)' = f' + g'.
Zusammen
f(x) = 2x⁴ − 3x² + 5x − 8 f'(x) = 8x³ − 6x + 5
Höhere Ableitungen
Leitest du f' noch einmal ab, erhältst du die zweite Ableitung f''. Sie beschreibt, wie sich die Steigung ändert, und damit die Krümmung des Graphen. Im Beispiel: f''(x) = 24x² − 6.
Weitere Grundableitungen
(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (eˣ)' = eˣ. Diese kommen in der Oberstufe dazu.
Merke
(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹. Konstanten fallen weg, Faktoren bleiben stehen, Summen werden Glied für Glied abgeleitet.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- (3x⁵)' = 15x⁴
- (−4x³)' = −12x²
- (x)' = 1, (−10)' = 0
Ergebnis f'(x) = 15x⁴ − 12x² + 1
Beispiel 2
- Umschreiben: f(x) = 2x⁻³ + 4x^½
- (2x⁻³)' = −6x⁻⁴
- (4x^½)' = 2x^(−½)
Ergebnis f'(x) = −6x⁴ + 2√x
Selbst üben
f(x) = x⁷. f'(x)?
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7x⁶
f(x) = −2x³ + 6x² − 9. f'(x) und f''(x)?
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f'(x) = −6x² + 12x, f''(x) = −12x + 12
f(x) = 12x⁴ − x. f'(2)?
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f'(x) = 2x³ − 1, f'(2) = 15
f(x) = 5. f'(x)?
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0
Hier passieren die meisten Fehler
(x⁵)' wird als 5x⁵ berechnet.
Der Exponent sinkt um 1: 5x⁴.
(3x)' wird als 0 berechnet, weil 3 eine Konstante ist.
Nur alleinstehende Konstanten werden 0. (3x)' = 3.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 11 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.