Produktregel und Kettenregel
Du leitest Produkte und verkettete Funktionen wie (3x² + 1)⁵ oder x · eˣ ab.
Die Grundlagen
Für Produkte und Verkettungen reichen die Grundregeln nicht. Es ist ein typischer Fehler, ein Produkt einfach faktorweise abzuleiten.
Produktregel
(u · v)' = u' · v + u · v'
Beispiel: f(x) = x² · sin x. Mit u = x², v = sin x, u' = 2x, v' = cos x: f'(x) = 2x · sin x + x² · cos x.
Kettenregel
Eine Verkettung f(x) = u(v(x)) besteht aus einer äußeren Funktion u und einer inneren Funktion v. Es gilt:
f'(x) = u'(v(x)) · v'(x)
kurz: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Beispiel: f(x) = (3x² + 1)⁵. Äußere Funktion: u(z) = z⁵, innere: v(x) = 3x² + 1.
- äußere Ableitung: 5(3x² + 1)⁴ (die innere Funktion bleibt stehen)
- innere Ableitung: 6x
- f'(x) = 5(3x² + 1)⁴ · 6x = 30x(3x² + 1)⁴
Typische Verkettungen
- e^(2x) → 2e^(2x)
- sin(4x) → 4 cos(4x)
- √(x² + 1) → x√(x² + 1)
Beides zusammen
Bei f(x) = x · e^(−x) brauchst du die Produktregel und für e^(−x) die Kettenregel: f'(x) = 1 · e^(−x) + x · (−e^(−x)) = (1 − x)e^(−x).
Merksatz
Produktregel: (uv)' = u'v + uv'. Kettenregel: äußere Ableitung (Inneres unverändert lassen) mal innere Ableitung.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- Äußere Funktion z⁴, innere 2x − 5
- Äußere Ableitung: 4(2x − 5)³, innere Ableitung: 2
Ergebnis f'(x) = 8(2x − 5)³
Beispiel 2
- u = x³, u' = 3x²; v = e^(2x), v' = 2e^(2x)
- f'(x) = 3x² · e^(2x) + x³ · 2e^(2x)
Ergebnis f'(x) = (3x² + 2x³) · e^(2x) = x²(3 + 2x)e^(2x)
Jetzt bist du dran
f(x) = (x² + 3)³. f'(x)?
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3(x² + 3)² · 2x = 6x(x² + 3)²
f(x) = e^(−3x). f'(x)?
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−3e^(−3x)
f(x) = x · sin x. f'(x)?
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sin x + x cos x
f(x) = √(4x + 1). f'(x)?
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12√(4x+1) · 4 = 2√(4x+1)
Darauf solltest du achten
(x² · sin x)' wird als 2x · cos x berechnet.
Produkte nicht faktorweise ableiten. Richtig: 2x sin x + x² cos x.
Bei (3x² + 1)⁵ wird die innere Ableitung vergessen: 5(3x² + 1)⁴.
Die äußere Ableitung muss noch mit 6x multipliziert werden.
Hinweis zur Klassenstufe
Die Einordnung in Klasse 11 folgt verbreiteten Lehrplänen. Maßgeblich ist, was deine Lehrkraft für die Arbeit angekündigt hat.