Ableitung: Differenzenquotient und Tangentensteigung
Du verstehst, was eine Ableitung bedeutet: die momentane Änderungsrate, also die Steigung der Tangente in einem Punkt.
So funktioniert es
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer Kurve wie f(x) = x² ändert sie sich ständig: Links vom Scheitel fällt die Kurve, rechts steigt sie immer steiler. Die Ableitung f'(x) gibt für jede Stelle x die Steigung der Kurve an.
Mittlere Änderungsrate
Zwischen zwei Stellen x₀ und x₁ misst der Differenzenquotient die durchschnittliche Steigung:
m = (f(x₁) − f(x₀)) : (x₁ − x₀)
Geometrisch ist das die Steigung der Sekante durch die beiden Kurvenpunkte. Ein Beispiel aus dem Alltag ist die Durchschnittsgeschwindigkeit: zurückgelegter Weg durch benötigte Zeit.
Momentane Änderungsrate
Rückt x₁ immer näher an x₀ heran, wird aus der Sekante die Tangente. Ihre Steigung ist die Ableitung an der Stelle x₀. Formal schreibt man das mit dem Grenzwert des Differentialquotienten:
f'(x₀) = lim (h → 0) (f(x₀ + h) − f(x₀)) : h
Beispiel f(x) = x²
(f(x₀ + h) − f(x₀)) : h = ((x₀ + h)² − x₀²) : h = (2x₀h + h²) : h = 2x₀ + h. Für h → 0 bleibt f'(x₀) = 2x₀. An der Stelle 3 hat die Parabel also die Steigung 6.
Bedeutung des Vorzeichens
- f'(x₀) > 0: Der Graph steigt an dieser Stelle.
- f'(x₀) < 0: Der Graph fällt.
- f'(x₀) = 0: waagerechte Tangente, möglicherweise ein Hoch- oder Tiefpunkt.
Tangentengleichung
Die Tangente an der Stelle x₀ hat die Gleichung t(x) = f'(x₀) · (x − x₀) + f(x₀).
Kurz gemerkt
Die Ableitung f'(x₀) ist die Steigung der Tangente an der Stelle x₀ und entsteht als Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0. Tangente: t(x) = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
- f(1) = 1, f(4) = 16
- m = (16 − 1) : (4 − 1) = 15 : 3
Ergebnis m = 5
Beispiel 2
- f(3) = 9, f'(3) = 2 · 3 = 6
- t(x) = 6(x − 3) + 9 = 6x − 18 + 9
Ergebnis t(x) = 6x − 9
Übungen
Mittlere Änderungsrate von f(x) = x³ zwischen 0 und 2?
Lösung anzeigen
(8 − 0) : 2 = 4
Welche Steigung hat f(x) = x² an der Stelle −1,5?
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f'(−1,5) = 2 · (−1,5) = −3
Ein Auto fährt in 2 Stunden 150 km. Was beschreibt 75 km/h?
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Die mittlere Änderungsrate des Weges, also die Durchschnittsgeschwindigkeit, nicht die Momentangeschwindigkeit.
Bestimme die Tangente an f(x) = x² in x₀ = −2.
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f(−2) = 4, f'(−2) = −4, t(x) = −4(x + 2) + 4 = −4x − 4
Darauf solltest du achten
Die mittlere Änderungsrate wird als (x₁ − x₀) : (f(x₁) − f(x₀)) berechnet.
Steigung ist immer y-Änderung durch x-Änderung.
Bei der Tangentengleichung wird f'(x₀) mit f(x₀) verwechselt.
f'(x₀) ist die Steigung, f(x₀) die y-Koordinate des Berührpunkts.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 11 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.