Wendepunkte und Krümmungsverhalten
Du bestimmst, wo ein Graph von einer Links- in eine Rechtskurve wechselt, und berechnest Wendepunkte und Wendetangenten.
Schritt für Schritt erklärt
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad entlang eines Funktionsgraphen von links nach rechts. Mal lenkst du nach links, mal nach rechts. Der Punkt, an dem du von einer Links- in eine Rechtskurve wechselst oder umgekehrt, ist ein Wendepunkt.
Krümmung
- f''(x) > 0: linksgekrümmt (die Steigung nimmt zu, der Graph ist nach oben offen wie ein Tal)
- f''(x) < 0: rechtsgekrümmt (die Steigung nimmt ab, der Graph ist nach unten offen wie ein Hügel)
Bedingungen für einen Wendepunkt
- Notwendig: f''(x) = 0
- Hinreichend: zusätzlich f'''(x) ≠ 0, oder f'' wechselt an der Stelle das Vorzeichen
Am Wendepunkt ist die Steigung extremal: Dort ist der Graph am steilsten oder am wenigsten steil. Deshalb ist der Wendepunkt oft der Punkt des stärksten Wachstums, etwa bei Verkaufszahlen oder Infektionskurven.
Sattelpunkt
Ist am Wendepunkt zusätzlich f'(x) = 0, ist die Tangente waagerecht. Diesen Sonderfall nennt man Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Beispiel: f(x) = x³ in (0 | 0).
Wendetangente
Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. Du berechnest sie wie jede Tangente: t(x) = f'(x_W) · (x − x_W) + f(x_W).
Das musst du dir merken
Notwendig für einen Wendepunkt: f''(x) = 0. Hinreichend: f'''(x) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f''. Ist dort auch f' = 0, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- f'(x) = 3x² − 12x + 9, f''(x) = 6x − 12, f'''(x) = 6
- f''(x) = 0 → x = 2
- f'''(2) = 6 ≠ 0: Wendepunkt
- f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3
Ergebnis W(2 | 3), links davon rechtsgekrümmt, rechts davon linksgekrümmt
Beispiel 2
- f'(2) = 12 − 24 + 9 = −3
- t(x) = −3(x − 2) + 3 = −3x + 9
Ergebnis t(x) = −3x + 9
Selbst üben
Wendepunkt von f(x) = x³ + 3x²?
Lösung anzeigen
f''(x) = 6x + 6 = 0 → x = −1, f''' = 6 ≠ 0, f(−1) = 2: W(−1 | 2).
Wo ist f(x) = x³ − 3x linksgekrümmt?
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f''(x) = 6x > 0 für x > 0.
Hat f(x) = x⁴ einen Wendepunkt in x = 0?
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f''(x) = 12x² ist links und rechts von 0 positiv, kein Vorzeichenwechsel. Kein Wendepunkt.
Hier passieren die meisten Fehler
Der Wendepunkt wird mit f'(x) = 0 gesucht.
f' = 0 liefert Kandidaten für Extrempunkte. Wendepunkte findet man mit f'' = 0.
Jede Nullstelle von f'' wird als Wendepunkt angegeben.
Es braucht zusätzlich f''' ≠ 0 oder einen Vorzeichenwechsel von f''.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 11 ist der häufigste Zeitpunkt.