Übungsgenerator · Klasse 8 bis 9
Binomische Formeln üben: ausmultiplizieren und faktorisieren
Alle drei binomischen Formeln vorwärts und rückwärts üben, mit a, b und 2ab im Lösungsweg und eigenen Termen.
Beispielrechnung
- Erste binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b² mit a = 3x und b = 4
- a² = (3x)² = 9x²
- 2ab = 2 · 3x · 4 = 24x
- b² = 4² = 16
Ergebnis (3x + 4)² = 9x² + 24x + 16
Probe mit x = 1: 49 auf beiden Seiten.
Die drei binomischen Formeln sind Abkürzungen für das Ausmultiplizieren besonderer Klammerprodukte. Wer sie sicher beherrscht, spart beim Vereinfachen von Termen, beim Lösen quadratischer Gleichungen und bei der quadratischen Ergänzung viel Zeit.
Der Trainer übt in Stufe 1 und 2 das Ausmultiplizieren, in Stufe 3 die Gegenrichtung: Du erkennst in einem Term wie 9x² − 30x + 25 die binomische Formel und schreibst ihn als Quadrat. Der Lösungsweg nennt jeweils a, b und das Mittelglied 2ab.
So benutzt du den Trainer für binomische Formeln
- Formel erkennen: Plus in beiden Klammern: erste Formel. Minus in beiden: zweite. Einmal plus, einmal minus: dritte.
- a und b bestimmen: a ist der erste, b der zweite Summand in der Klammer, jeweils ohne Vorzeichen.
- Einsetzen: a² ± 2ab + b² oder a² − b². Achte auf Klammern beim Quadrieren: (3x)² = 9x².
- Eingeben: Schreibe x² als x^2, also etwa 9x^2+24x+16.
Die drei Formeln
| Formel | ausmultipliziert | Beispiel |
|---|---|---|
| 1. binomische Formel | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 5)² = x² + 10x + 25 |
| 2. binomische Formel | (a − b)² = a² − 2ab + b² | (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9 |
| 3. binomische Formel | (a + b)(a − b) = a² − b² | (x + 7)(x − 7) = x² − 49 |
Anschaulich: (a + b)² ist die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge a + b. Es besteht aus einem Quadrat a², einem Quadrat b² und zwei Rechtecken mit der Fläche ab.
Rückwärts: faktorisieren
Um einen Term als binomische Formel zu schreiben, prüfst du, ob der erste und letzte Summand Quadratzahlen sind und ob das Mittelglied genau 2ab ist. Bei 9x² − 30x + 25 ist a = 3x und b = 5, und 2 · 3x · 5 = 30x passt. Also gilt 9x² − 30x + 25 = (3x − 5)².
Typische Fehler
- Das Mittelglied vergessen: (x + 3)² ist nicht x² + 9.
- Den Faktor beim Quadrieren nicht mitquadrieren: (2x)² ist 4x², nicht 2x².
- Bei der zweiten Formel das Vorzeichen von b² falsch setzen: b² ist immer positiv.
Weitere Beispiele mit Rechenweg
Häufige Fragen
Wofür braucht man binomische Formeln?
Zum schnellen Ausmultiplizieren, zum Faktorisieren, für die quadratische Ergänzung bei Parabeln und für Kopfrechentricks wie 49 · 51 = 50² − 1 = 2499.
Gibt es eine vierte binomische Formel?
In der Schule spricht man von drei Formeln. Für höhere Potenzen wie (a + b)³ gibt es den binomischen Lehrsatz mit dem pascalschen Dreieck.
Wie gebe ich Potenzen ein?
Mit dem Zeichen ^, also x^2 für x². Das Malzeichen zwischen Zahl und x kannst du weglassen.