Quadratische Gleichungen lösen: pq-Formel und abc-Formel
Du löst quadratische Gleichungen mit Wurzelziehen, Ausklammern, pq-Formel und Mitternachtsformel und erkennst an der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.
Schritt für Schritt erklärt
Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Je nach Gestalt gibt es schnellere oder allgemeinere Lösungswege.
Sonderfälle
- Ohne x-Glied: x² − 25 = 0 → x² = 25 → x = 5 oder x = −5
- Ohne Zahl: x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0 → x = 0 oder x = 4
Die pq-Formel
Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform x² + px + q = 0 (durch a teilen!). Dann gilt:
x₁,₂ = −p2 ± √((p2)² − q)
Die abc-Formel (Mitternachtsformel)
Ohne vorher durch a zu teilen:
x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a)
Welche Formel du nimmst, hängt davon ab, was in deinem Bundesland üblich ist. Beide liefern dasselbe Ergebnis.
Die Diskriminante
Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante D. Bei der pq-Formel ist D = (p2)² − q.
- D > 0: zwei Lösungen
- D = 0: genau eine Lösung
- D < 0: keine reelle Lösung
Probe und Zerlegung
Hat die Gleichung die Lösungen x₁ und x₂, lässt sich der Term als (x − x₁)(x − x₂) schreiben. Außerdem gilt der Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Damit kannst du dein Ergebnis schnell prüfen.
Das musst du dir merken
Für die pq-Formel zuerst auf Normalform x² + px + q = 0 bringen. x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Ist der Wurzelterm negativ, gibt es keine Lösung.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- p = −2, q = −15
- p2 = −1, also −p2 = 1
- D = (−1)² − (−15) = 1 + 15 = 16
- x = 1 ± √16 = 1 ± 4
- Vieta: 5 + (−3) = 2 = −p und 5 · (−3) = −15 = q
Ergebnis x₁ = 5, x₂ = −3
Beispiel 2
- Durch 2 teilen: x² + 6x + 5 = 0
- p = 6, q = 5: x = −3 ± √(9 − 5) = −3 ± 2
Ergebnis x₁ = −1, x₂ = −5
Selbst üben
Löse x² + 8x + 12 = 0.
Lösung anzeigen
x = −4 ± √(16 − 12) = −4 ± 2, also x₁ = −2, x₂ = −6.
Löse x² − 6x + 9 = 0.
Lösung anzeigen
x = 3 ± √(9 − 9) = 3. Genau eine Lösung.
Wie viele Lösungen hat x² + 2x + 5 = 0?
Lösung anzeigen
D = 1 − 5 = −4 < 0: keine reelle Lösung.
Löse 3x² − 27 = 0.
Lösung anzeigen
x² = 9, x = 3 oder x = −3.
Löse x² − 5x = 0.
Lösung anzeigen
x(x − 5) = 0, x = 0 oder x = 5.
Typische Fehler
Die pq-Formel wird auf 2x² + 12x + 10 = 0 angewendet, ohne vorher durch 2 zu teilen.
Die pq-Formel gilt nur für die Normalform mit 1x². Zuerst durch a teilen.
Bei p = −2 wird −p2 als −1 gerechnet.
−p2 = −(−1) = +1. Auf das doppelte Minus achten.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 10 ist der häufigste Zeitpunkt.