Exponentielles Wachstum und Exponentialfunktionen
Du unterscheidest lineares und exponentielles Wachstum, stellst Funktionen f(x) = a · bˣ auf und berechnest Verdopplungs- und Halbwertszeiten.
So funktioniert es
Beim linearen Wachstum kommt in jedem Zeitschritt derselbe Betrag dazu: 100, 120, 140, 160. Beim exponentiellen Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert: 100, 120, 144, 172,8. Am Anfang sehen beide ähnlich aus, auf lange Sicht wächst das exponentielle Wachstum aber viel schneller.
Die Exponentialfunktion
f(x) = a · bˣ
- a ist der Anfangswert (für x = 0)
- b ist der Wachstumsfaktor
Wächst ein Bestand um p % pro Schritt, ist b = 1 + p100. Nimmt er um p % ab, ist b = 1 − p100. Bei b > 1 liegt Wachstum vor, bei 0 < b < 1 Zerfall (exponentielle Abnahme).
Erkennen in Tabellen
Prüfe die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. Sind sie gleich, ist das Wachstum exponentiell. Sind die Differenzen gleich, ist es linear.
Verdopplungszeit und Halbwertszeit
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, nach der sich der Bestand verdoppelt hat. Bei exponentiellem Wachstum ist sie immer gleich lang, egal wann man anfängt zu messen. Entsprechend gibt es beim Zerfall die Halbwertszeit. Berechnen kannst du sie mit dem Logarithmus: Aus bᵗ = 2 folgt t = log(2) : log(b).
Beispiele aus dem Alltag
Zinseszins, Bakterienwachstum unter idealen Bedingungen, radioaktiver Zerfall und das Abkühlen von Tee folgen (näherungsweise) exponentiellen Gesetzen.
Kurz gemerkt
Exponentiell heißt: in gleichen Zeitschritten mit demselben Faktor multiplizieren. f(x) = a · bˣ mit b = 1 + p/100 bei Wachstum und b = 1 − p/100 bei Abnahme.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- a = 80 000, b = 1,02
- f(10) = 80 000 · 1,02¹⁰ ≈ 80 000 · 1,21899
Ergebnis Nach 10 Jahren etwa 97 519 Einwohner.
Beispiel 2
- b = 0,85, gesucht t mit 0,85ᵗ = 0,5
- t = log(0,5) : log(0,85) ≈ 4,27
Ergebnis Nach etwa 4,3 Stunden.
Jetzt bist du dran
Linear oder exponentiell? 5, 15, 45, 135
Lösung anzeigen
Quotient jeweils 3: exponentiell mit b = 3.
Ein Auto verliert pro Jahr 12 % an Wert. Wie lautet der Wachstumsfaktor?
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b = 0,88
500 € wachsen jährlich um 4 %. Wie viel sind es nach 5 Jahren?
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500 · 1,04⁵ ≈ 608,33 €
Bakterien verdoppeln sich alle 20 Minuten. Aus wie vielen werden 100 Bakterien in 2 Stunden?
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2 Stunden = 6 Verdopplungen: 100 · 2⁶ = 6 400.
Darauf solltest du achten
Bei 12 % Wertverlust wird der Faktor 0,12 genommen.
Nach einem Jahr bleiben 88 % übrig. Der Faktor ist 1 − 0,12 = 0,88.
Bei 2 % Wachstum über 10 Jahre werden einfach 20 % aufgeschlagen.
Das wäre lineares Wachstum. Exponentiell gilt 1,02¹⁰ ≈ 1,219, also knapp 22 %.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 10 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.