Logarithmus: Exponentialgleichungen lösen
Der Logarithmus beantwortet die Frage „Hoch wie viel?“. Du lernst Definition und Rechengesetze und löst Exponentialgleichungen.
Das Wichtigste verständlich erklärt
Bei 2³ = 8 kennst du die Basis und den Exponenten. Oft ist aber der Exponent gesucht: 2 hoch wie viel ergibt 8? Die Antwort liefert der Logarithmus:
log_b(a) = x bedeutet bˣ = a
Also log₂(8) = 3, log₁₀(1 000) = 3 und log₅(25) = 2.
Besondere Logarithmen
- lg oder log ist oft der Zehnerlogarithmus (Basis 10).
- ln ist der natürliche Logarithmus mit der Basis e ≈ 2,718.
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Außerdem gilt log_b(1) = 0 und log_b(b) = 1.
Rechengesetze
| Gesetz | Beispiel |
|---|---|
| log(u · v) = log u + log v | lg 20 + lg 5 = lg 100 = 2 |
| log(u : v) = log u − log v | lg 500 − lg 5 = lg 100 = 2 |
| log(uʳ) = r · log u | lg 10⁴ = 4 |
Exponentialgleichungen lösen
Steht die Unbekannte im Exponenten, logarithmierst du beide Seiten:
3ˣ = 50 → x · lg 3 = lg 50 → x = lg 50 : lg 3 ≈ 3,56
Daraus folgt auch die Basiswechselformel: log_b(a) = lg a : lg b. So rechnest du jeden Logarithmus mit der lg- oder ln-Taste aus.
Das musst du dir merken
log_b(a) ist der Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um a zu erhalten. Exponentialgleichungen löst du durch Logarithmieren: aus bˣ = c wird x = log c : log b.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- Durch 5 teilen: 1,08ˣ = 4
- Logarithmieren: x · lg 1,08 = lg 4
- x = lg 4 : lg 1,08 ≈ 18,01
Ergebnis x ≈ 18,0
Beispiel 2
- Gesucht: 2 hoch wie viel ist 64?
- 2⁶ = 64
Ergebnis log₂(64) = 6
Jetzt bist du dran
log₃(81) = ?
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4, denn 3⁴ = 81.
lg 0,01 = ?
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−2, denn 10⁻² = 0,01.
Löse 2ˣ = 30.
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x = lg 30 : lg 2 ≈ 4,91
Vereinfache lg 4 + lg 25.
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lg 100 = 2
Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei 3 % Zinsen?
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1,03ᵗ = 2, t = lg 2 : lg 1,03 ≈ 23,4 Jahre.
Häufige Fehler vermeiden
lg(20 + 5) wird als lg 20 + lg 5 gerechnet.
Das Gesetz gilt für Produkte: lg(20 · 5) = lg 20 + lg 5. Für Summen gibt es keine Regel.
Bei 5 · 1,08ˣ = 20 wird zuerst logarithmiert, ohne durch 5 zu teilen, und lg(5 · 1,08) gerechnet.
Erst die Potenz isolieren (durch 5 teilen), dann logarithmieren.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 10 ist der häufigste Zeitpunkt.