Pyramide, Kegel und Kugel
Du berechnest Volumen und Oberfläche von Pyramide, Kegel und Kugel und nutzt den Satz des Pythagoras für Höhen und Mantellinien.
Schritt für Schritt erklärt
Pyramide und Kegel sind Spitzkörper: Sie haben eine Grundfläche und laufen nach oben in einer Spitze zusammen. Ihr Volumen ist genau ein Drittel des Prismas bzw. Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Volumen
| Körper | Volumen |
|---|---|
| Pyramide | V = 13 · G · h |
| Kegel | V = 13 · π · r² · h |
| Kugel | V = 43 · π · r³ |
Oberfläche
- Quadratische Pyramide mit Grundkante a und Seitenhöhe h_s: O = a² + 4 · 12 · a · h_s = a² + 2a · h_s
- Kegel mit Mantellinie s: O = πr² + πrs
- Kugel: O = 4πr²
Pythagoras im Raum
Die Höhen und Mantellinien stehen oft nicht direkt in der Aufgabe. Beim Kegel bilden r, h und s ein rechtwinkliges Dreieck: s² = r² + h². Bei der quadratischen Pyramide gilt für die Seitenhöhe: h_s² = h² + (a2)².
Größenvorstellung
Eine Kugel mit 10 cm Radius hat ein Volumen von etwa 4,19 Litern. Ein Kegel, der genau in einen Zylinder passt, füllt ihn zu einem Drittel, eine Kugel, die genau hineinpasst, zu zwei Dritteln.
Das musst du dir merken
Spitzkörper: V = ⅓ · G · h. Kugel: V = 4/3 · π · r³ und O = 4πr². Fehlende Höhen und Mantellinien mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- V = 13 · π · 9 · 4 = 12π ≈ 37,70 cm³
- Mantellinie: s = √(3² + 4²) = 5 cm
- O = π · 9 + π · 3 · 5 = 24π ≈ 75,40 cm²
Ergebnis V ≈ 37,7 cm³, O ≈ 75,4 cm²
Beispiel 2
- r = 3 cm, V = 43 · π · 27 = 36π ≈ 113,10 cm³
- m = 113,10 cm³ · 7,85 g/cm³ ≈ 887,8 g
Ergebnis Die Kugel wiegt etwa 888 g.
Jetzt bist du dran
Volumen einer quadratischen Pyramide mit a = 6 cm und h = 10 cm?
Lösung anzeigen
V = 13 · 36 · 10 = 120 cm³
Oberfläche einer Kugel mit r = 5 cm?
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O = 4π · 25 ≈ 314,16 cm²
Ein Kegel hat r = 5 cm und s = 13 cm. Wie hoch ist er?
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h = √(169 − 25) = 12 cm
Die Cheops-Pyramide hatte ursprünglich etwa 230 m Grundkante und 146 m Höhe. Schätze ihr Volumen.
Lösung anzeigen
V ≈ 13 · 230² · 146 ≈ 2,57 Millionen m³
Darauf solltest du achten
Beim Kegelvolumen wird der Faktor 13 vergessen.
Spitzkörper haben ein Drittel des Volumens des passenden Zylinders.
Für die Kegeloberfläche wird die Höhe h statt der Mantellinie s eingesetzt.
Die Mantelfläche ist πrs mit der schrägen Mantellinie s = √(r² + h²).
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 10 ist der häufigste Zeitpunkt.