Quadratische Funktionen und Parabeln
Du lernst Normalparabel, Scheitelpunktform und allgemeine Form kennen und liest Scheitel, Öffnung und Streckung ab.
Die Grundlagen
Eine quadratische Funktion enthält x², ihr Graph ist eine Parabel. Die einfachste ist die Normalparabel f(x) = x² mit dem Scheitel im Ursprung (0 | 0). Sie ist nach oben geöffnet und symmetrisch zur y-Achse.
Scheitelpunktform
f(x) = a(x − d)² + e
Aus dieser Form liest du direkt ab:
- Scheitelpunkt S(d | e). Achtung: Bei (x − 3)² ist d = 3, bei (x + 3)² ist d = −3.
- a > 0: nach oben geöffnet, a < 0: nach unten geöffnet
- |a| > 1: gestreckt (schmaler), |a| < 1: gestaucht (breiter)
f(x) = −2(x + 1)² + 4 hat also den Scheitel S(−1 | 4), ist nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel.
Allgemeine Form
f(x) = ax² + bx + c
Hier ist c der Schnittpunkt mit der y-Achse. Den Scheitel findest du über die quadratische Ergänzung oder mit x_S = −b : (2a).
Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform
f(x) = x² − 6x + 5
- Quadratische Ergänzung: Halbiere den Faktor vor x (−6 → −3) und quadriere ihn (9).
- f(x) = x² − 6x + 9 − 9 + 5 = (x − 3)² − 4
- Scheitel S(3 | −4)
Nullstellen
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Du findest sie, indem du f(x) = 0 setzt und die quadratische Gleichung löst. Eine Parabel kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben.
Kurz gemerkt
Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e: Scheitel S(d | e), a gibt Öffnung und Streckung an. In der allgemeinen Form ax² + bx + c ist c der y-Achsenabschnitt und x_S = −b/(2a).
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- x_S = −8 : (2 · 2) = −2
- y_S = f(−2) = 2 · 4 − 16 + 3 = −5
Ergebnis S(−2 | −5), nach oben geöffnet und gestreckt
Beispiel 2
- Ansatz: f(x) = a(x − 1)² + 3
- P einsetzen: −5 = a · (3 − 1)² + 3 = 4a + 3
- 4a = −8, also a = −2
Ergebnis f(x) = −2(x − 1)² + 3
Selbst üben
Gib den Scheitel von f(x) = (x + 4)² − 1 an.
Lösung anzeigen
S(−4 | −1)
Ist f(x) = −0,5x² + 2 schmaler oder breiter als die Normalparabel?
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a = 0,5 < 1: breiter (gestaucht), nach unten geöffnet. Forme f(x) = x² + 4x + 7 in Scheitelpunktform um.
Lösung anzeigen
(x + 2)² − 4 + 7 = (x + 2)² + 3, Scheitel S(−2 | 3).
Wo schneidet f(x) = 3x² − x + 6 die y-Achse?
Lösung anzeigen
Bei c = 6, also im Punkt (0 | 6).
Hier passieren die meisten Fehler
Bei f(x) = (x − 3)² + 1 wird der Scheitel bei (−3 | 1) gesehen.
In der Scheitelpunktform steht (x − d). Bei (x − 3) ist d = +3, also S(3 | 1).
Bei der quadratischen Ergänzung wird die Ergänzung addiert, aber nicht wieder abgezogen.
Damit sich der Term nicht ändert, muss die Ergänzung gleichzeitig addiert und subtrahiert werden.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 10 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.