Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Du berechnest damit fehlende Seiten, Diagonalen und Abstände.
Worum es geht
In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten am rechten Winkel Katheten, die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Der Satz des Pythagoras besagt:
a² + b² = c²
wenn a und b die Katheten sind und c die Hypotenuse. In Worten: Die Quadrate über den beiden Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.
Hypotenuse berechnen
c = √(a² + b²). Bei a = 6 cm und b = 8 cm: c = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Kathete berechnen
Stelle nach der gesuchten Kathete um: a² = c² − b², also a = √(c² − b²). Hier wird subtrahiert, nicht addiert.
Wer ist die Hypotenuse?
Die Buchstaben a, b, c sind nicht immer gleich verteilt. Entscheidend ist: Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite. Heißt der rechte Winkel in einer Aufgabe β, dann ist b die Hypotenuse und es gilt a² + c² = b².
Umkehrung
Gilt in einem Dreieck a² + b² = c², dann ist es rechtwinklig. Mit einem Seil mit 12 Knoten in gleichen Abständen (Seiten 3, 4, 5) kann man so einen rechten Winkel abstecken.
Anwendungen
Diagonale im Rechteck, Höhe eines gleichseitigen Dreiecks, Länge einer Leiter, Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Merksatz
a² + b² = c², c ist die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel. Hypotenuse: Quadrate addieren und Wurzel ziehen. Kathete: Quadrate subtrahieren und Wurzel ziehen.
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- Breite und Höhe sind die Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse.
- d² = 88² + 50² = 7 744 + 2 500 = 10 244
- d = √10 244 ≈ 101,2 cm
Ergebnis Die Diagonale ist etwa 101 cm lang.
Beispiel 2
- Die Leiter ist die Hypotenuse, gesucht ist eine Kathete.
- h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04
- h = √23,04 = 4,8 m
Ergebnis Die Leiter reicht 4,8 m hoch.
Unbegrenzt weiterüben
Satz des Pythagoras üben: Hypotenuse und Kathete berechnen: Aufgaben zu Hypotenuse und Katheten, in Stufe 3 als Sachaufgaben, mit Skizze im Kopf und Lösungsweg, dazu ein Rechner für eigene Werte.
Aufgaben zum Üben
Katheten 9 cm und 12 cm. Hypotenuse?
Lösung anzeigen
c = √(81 + 144) = √225 = 15 cm
Hypotenuse 13 cm, eine Kathete 5 cm. Andere Kathete?
Lösung anzeigen
√(169 − 25) = √144 = 12 cm
Ist ein Dreieck mit den Seiten 7, 8 und 11 rechtwinklig?
Lösung anzeigen
7² + 8² = 113, aber 11² = 121. Nein.
Abstand der Punkte A(1 | 2) und B(7 | 10)?
Lösung anzeigen
√(6² + 8²) = √100 = 10
Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 6 cm?
Lösung anzeigen
h = √(6² − 3²) = √27 ≈ 5,20 cm
Fehler, die Punkte kosten
a + b = c wird statt a² + b² = c² gerechnet.
Die Seiten selbst addieren sich nicht. 3 + 4 ist 7, die Hypotenuse ist aber 5.
Bei gesuchter Kathete werden die Quadrate addiert.
Für eine Kathete gilt a² = c² − b². Kontrolle: Die Kathete muss kürzer sein als die Hypotenuse.
Hinweis zur Klassenstufe
Die Einordnung in Klasse 9 folgt verbreiteten Lehrplänen. Maßgeblich ist, was deine Lehrkraft für die Arbeit angekündigt hat.