Quadratwurzeln und reelle Zahlen
Du lernst, was eine Quadratwurzel ist, ziehst Wurzeln im Kopf und mit Rechenregeln und erfährst, warum √2 keine Bruchzahl ist.
So funktioniert es
Die Quadratwurzel √a ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. √49 = 7, weil 7 · 7 = 49. Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand. Sie darf (bei reellen Zahlen) nicht negativ sein, denn keine Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert etwas Negatives.
Achtung: Die Gleichung x² = 49 hat zwei Lösungen, nämlich 7 und −7. Die Wurzel √49 ist aber nur 7.
Quadratzahlen kennen
Die Quadratzahlen bis 20² = 400 solltest du kennen: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Damit ziehst du viele Wurzeln im Kopf.
Rechenregeln
- √a · √b = √(a · b), zum Beispiel √2 · √8 = √16 = 4
- √a : √b = √(a : b)
- Teilweise Wurzelziehen: √50 = √(25 · 2) = 5√2
- Für Summen gilt keine solche Regel: √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 7
Irrationale Zahlen
√2 ≈ 1,41421356… hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nie wiederholen. Sie lässt sich nicht als Bruch schreiben und heißt deshalb irrational. Auch π ist irrational. Rationale und irrationale Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen.
Wurzeln abschätzen
√60 liegt zwischen √49 = 7 und √64 = 8, näher an 8. Der Taschenrechner liefert √60 ≈ 7,746.
Kurz gemerkt
√a ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat a ist. √(a · b) = √a · √b, aber √(a + b) ist nicht √a + √b. x² = a hat die Lösungen √a und −√a.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- 72 = 36 · 2, und 36 ist eine Quadratzahl.
- √72 = √36 · √2
Ergebnis √72 = 6√2
Beispiel 2
- 11² = 121 und 12² = 144
- 121 < 130 < 144
Ergebnis 11 < √130 < 12
Jetzt bist du dran
√225 = ?
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15
√3 · √12 = ?
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√36 = 6
Vereinfache √48.
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√(16 · 3) = 4√3
Löse x² = 81.
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x = 9 oder x = −9
Ist √0,25 rational?
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Ja, √0,25 = 0,5 = 12.
Häufige Fehler vermeiden
√(16 + 9) wird als √16 + √9 = 7 gerechnet.
Zuerst die Summe unter der Wurzel berechnen: √25 = 5.
√49 wird als ±7 angegeben.
Die Wurzel ist immer nicht negativ: √49 = 7. Die Gleichung x² = 49 hat dagegen zwei Lösungen.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 9 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.