Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Du löst Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren und deutest die Lösung grafisch.
Erklärung
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen, etwa:
I: x + y = 10 II: 2x − y = 5
Gesucht ist ein Zahlenpaar (x | y), das beide Gleichungen erfüllt.
Einsetzungsverfahren
Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze das Ergebnis in die andere ein. Aus I folgt y = 10 − x. In II eingesetzt: 2x − (10 − x) = 5, also 3x = 15 und x = 5. Dann y = 10 − 5 = 5.
Gleichsetzungsverfahren
Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setze die Terme gleich. Das ist praktisch, wenn beide Gleichungen schon die Form y = … haben.
Additionsverfahren
Addiere die Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt. Im Beispiel fällt y weg, wenn man I und II addiert: 3x = 15. Oft muss man vorher eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, damit die Koeffizienten passen.
Grafische Deutung
Jede Gleichung beschreibt eine Gerade. Die Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Daraus folgen drei Fälle:
- Die Geraden schneiden sich: genau eine Lösung.
- Die Geraden sind parallel: keine Lösung.
- Die Geraden sind identisch: unendlich viele Lösungen.
Probe
Setze die Lösung immer in beide Ausgangsgleichungen ein.
Merke
Eine Variable eliminieren (einsetzen, gleichsetzen oder addieren), die andere ausrechnen, zurückeinsetzen und die Probe in beiden Gleichungen machen. Grafisch ist die Lösung der Schnittpunkt zweier Geraden.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
- I · 2: 6x + 4y = 32
- Addieren mit II: 11x = 44, also x = 4
- In I einsetzen: 12 + 2y = 16, also y = 2
- Probe in II: 5 · 4 − 4 · 2 = 20 − 8 = 12
Ergebnis x = 4, y = 2
Beispiel 2
- I: 2e + 3k = 37, II: e + 4k = 31
- Aus II: e = 31 − 4k. In I: 2(31 − 4k) + 3k = 37
- 62 − 8k + 3k = 37, also −5k = −25 und k = 5
- e = 31 − 20 = 11
Ergebnis Erwachsene zahlen 11 €, Kinder 5 €.
Selbst üben
Löse: y = 2x + 1 und y = −x + 7.
Lösung anzeigen
Gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 7, x = 2, y = 5.
Löse: x + y = 12 und x − y = 4.
Lösung anzeigen
Addieren: 2x = 16, x = 8, y = 4.
Löse: 2x + y = 7 und 4x + 2y = 10.
Lösung anzeigen
Die zweite Gleichung halbiert: 2x + y = 5. Widerspruch zu 7, also keine Lösung (parallele Geraden).
Die Summe zweier Zahlen ist 50, ihre Differenz 14. Welche Zahlen sind es?
Lösung anzeigen
x + y = 50, x − y = 14, also x = 32 und y = 18.
Hier passieren die meisten Fehler
Nach dem Berechnen von x wird y vergessen.
Ein LGS ist erst gelöst, wenn beide Werte bestimmt sind. Lösung als Paar (x | y) angeben.
Beim Multiplizieren einer Gleichung wird nur eine Seite multipliziert.
Jedes Glied auf beiden Seiten wird mit der Zahl multipliziert.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 9 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.