Potenzen und Potenzgesetze
Du lernst die Potenzgesetze für gleiche Basen und gleiche Exponenten, negative Exponenten und die wissenschaftliche Schreibweise.
Die Grundlagen
Eine Potenz aⁿ ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt aus n gleichen Faktoren: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Dabei heißt a die Basis und n der Exponent.
Die Potenzgesetze
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ |
| aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ | 2³ · 5³ = 10³ |
| aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ | 6² : 3² = 2² |
Die ersten beiden Regeln gelten nur bei gleicher Basis, die letzten beiden nur bei gleichem Exponenten. Für Summen gibt es keine Regel: 2³ + 2⁴ ist nicht 2⁷.
Null und negative Exponenten
- a⁰ = 1 (für a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1aⁿ, zum Beispiel 10⁻³ = 11000 = 0,001
Das folgt aus der Divisionsregel: 5² : 5² = 5⁰, aber auch 25 : 25 = 1.
Wissenschaftliche Schreibweise
Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man als Zahl zwischen 1 und 10 mal einer Zehnerpotenz:
- Lichtgeschwindigkeit: ungefähr 300 000 000 m/s = 3 · 10⁸ m/s
- Durchmesser eines Wasserstoffatoms: ungefähr 0,000 000 000 1 m = 1 · 10⁻¹⁰ m
Beim Multiplizieren solcher Zahlen multiplizierst du die Vorfaktoren und addierst die Exponenten.
Merksatz
Gleiche Basis: Exponenten addieren (mal) oder subtrahieren (geteilt). Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren. a⁰ = 1 und a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- (x³)² = x⁶
- x⁶ · x⁴ = x¹⁰
- x¹⁰ : x⁵ = x⁵
Ergebnis x⁵
Beispiel 2
- Vorfaktoren: 4 · 3 = 12
- Zehnerpotenzen: 10⁵ · 10⁻² = 10³
- 12 · 10³ = 1,2 · 10⁴
Ergebnis 1,2 · 10⁴ = 12 000
Übungsaufgaben mit Lösungen
3² · 3³ = ?
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3⁵ = 243
a⁸ : a³ = ?
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a⁵
2⁻³ = ?
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18 = 0,125
Schreibe 0,000 45 in wissenschaftlicher Schreibweise.
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4,5 · 10⁻⁴
25³ · 4³ = ?
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(25 · 4)³ = 100³ = 1 000 000
Typische Fehler
2³ · 2⁴ wird als 4⁷ berechnet.
Die Basis bleibt gleich, nur die Exponenten werden addiert: 2⁷ = 128.
(3²)³ wird als 3⁵ berechnet.
Bei der Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert: 3⁶ = 729.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 9 ist der häufigste Zeitpunkt.