Die natürliche Exponentialfunktion eˣ

Lesezeit etwa 3 Minuten · 2 Beispiele · 4 Übungen · Redaktion Lektion.net · Stand 11.10.2026

Du lernst die Eulersche Zahl e kennen, leitest e-Funktionen ab, integrierst sie und löst Gleichungen mit dem natürlichen Logarithmus.

Das Wichtigste verständlich erklärt

Unter allen Exponentialfunktionen bˣ gibt es genau eine, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Ihre Basis ist die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828. Die Funktion f(x) = eˣ heißt natürliche Exponentialfunktion.

(eˣ)' = eˣ

Eigenschaften von eˣ

eˣ > 0 für alle x, es gibt keine Nullstelle.
e⁰ = 1, der Graph schneidet die y-Achse in (0 | 1).
Für x → −∞ nähert sich eˣ der 0 (waagerechte Asymptote y = 0), für x → +∞ wächst es unbegrenzt.

Ableiten mit der Kettenregel

(e^(kx))' = k · e^(kx), zum Beispiel (e^(−0,5x))' = −0,5 e^(−0,5x).

Integrieren

∫ e^(kx) dx = 1k e^(kx) + C

Der natürliche Logarithmus

Die Umkehrfunktion von eˣ ist der natürliche Logarithmus ln x. Es gilt ln(eˣ) = x und e^(ln x) = x für x > 0. Damit löst du Gleichungen:

e^(2x) = 7 → 2x = ln 7 → x = ln 72 ≈ 0,973

Wachstumsmodelle

Jede Exponentialfunktion lässt sich mit e schreiben: bˣ = e^(x · ln b). Bei Wachstumsprozessen schreibt man deshalb oft f(t) = a · e^(kt). Für k > 0 liegt Wachstum vor, für k < 0 Zerfall.

Merksatz

(eˣ)' = eˣ, (e^(kx))' = k e^(kx) und ∫ e^(kx) dx = (1/k) e^(kx) + C. Gleichungen mit e löst du mit ln.

So sieht es in der Praxis aus

Beispiel 1

Bestimme den Extrempunkt von f(x) = x · e^(−x).

Produktregel: f'(x) = e^(−x) − x e^(−x) = (1 − x) e^(−x)
e^(−x) ist nie 0, also 1 − x = 0 → x = 1
f(1) = e⁻¹ ≈ 0,368. Für x < 1 ist f' > 0, für x > 1 ist f' < 0.

Ergebnis Hochpunkt H(1 | 1e) ≈ (1 | 0,368)

Beispiel 2

Eine Bakterienkultur wächst nach N(t) = 500 · e^(0,2t) (t in Stunden). Wann sind es 2 000 Bakterien?

500 · e^(0,2t) = 2 000 → e^(0,2t) = 4
0,2t = ln 4 → t = ln 4 : 0,2 ≈ 6,93

Ergebnis Nach knapp 7 Stunden.

Jetzt bist du dran

Nimm dir Papier und Stift und löse die Aufgaben, bevor du nachschaust.

Leite ab: f(x) = 3e^(4x).
Lösung anzeigen
f'(x) = 12e^(4x)
∫ e^(2x) dx = ?
Lösung anzeigen
12 e^(2x) + C
Löse eˣ = 10.
Lösung anzeigen
x = ln 10 ≈ 2,303
Berechne ∫₀¹ eˣ dx.
Lösung anzeigen
e − 1 ≈ 1,718

Häufige Fehler vermeiden

(e^(3x))' wird als e^(3x) angegeben.
Die innere Ableitung 3 fehlt: 3e^(3x).
(eˣ)' wird mit der Potenzregel als x · eˣ⁻¹ berechnet.
Bei eˣ steht x im Exponenten, die Potenzregel gilt nicht. Es gilt (eˣ)' = eˣ.

Hinweis zur Klassenstufe

In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 12 ist der häufigste Zeitpunkt.