Vektoren: Rechnen im Raum
Du lernst Vektoren als Verschiebungen kennen, berechnest Verbindungsvektoren, Beträge und Mittelpunkte und rechnest mit Vektoren.
Erklärung
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: wie weit und in welche Richtung. Im dreidimensionalen Raum schreibt man ihn als Spalte mit drei Koordinaten, hier platzsparend als (2 | −1 | 3). Ein Pfeil, der dieselbe Verschiebung beschreibt, ist ein Repräsentant des Vektors, egal wo er beginnt.
Ortsvektor und Verbindungsvektor
- Der Ortsvektor eines Punktes P(2 | 1 | 4) zeigt vom Ursprung zu P und hat dieselben Koordinaten: OP = (2 | 1 | 4).
- Der Verbindungsvektor von A nach B ist AB = B − A („Spitze minus Fuß“). Für A(1 | 2 | 0) und B(4 | 0 | 5) ist AB = (3 | −2 | 5).
Rechnen mit Vektoren
- Addition: koordinatenweise, (1 | 2 | 3) + (4 | 0 | −1) = (5 | 2 | 2). Anschaulich hängt man die Pfeile aneinander.
- Skalarmultiplikation: jede Koordinate mit der Zahl multiplizieren, 3 · (1 | −2 | 0) = (3 | −6 | 0). Der Pfeil wird dreimal so lang.
Betrag (Länge)
|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)
Das ist der Satz des Pythagoras im Raum. Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres Verbindungsvektors.
Mittelpunkt einer Strecke
M = ½ · (A + B), also das arithmetische Mittel der Koordinaten.
Kollinear
Zwei Vektoren heißen kollinear (parallel), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: (2 | 4 | −6) = 2 · (1 | 2 | −3).
Merke
Verbindungsvektor AB = B − A. Betrag |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²). Mittelpunkt M = (A + B)/2. Kollinear heißt: ein Vektor ist Vielfaches des anderen.
Beispiele
Beispiel 1
- AB = (6 − 2 | 1 − (−1) | −1 − 3) = (4 | 2 | −4)
- |AB| = √(16 + 4 + 16) = √36 = 6
- M = ((2 + 6)/2 | (−1 + 1)/2 | (3 − 1)/2) = (4 | 0 | 1)
Ergebnis AB = (4 | 2 | −4), Länge 6, M(4 | 0 | 1)
Beispiel 2
- Im Parallelogramm gilt AD = BC.
- BC = (1 | 3 | 1)
- D = A + BC = (2 | 3 | 3)
Ergebnis D(2 | 3 | 3)
Jetzt bist du dran
Berechne den Betrag von v = (2 | 3 | 6).
Lösung anzeigen
√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
Sind (3 | −6 | 9) und (−1 | 2 | −3) kollinear?
Lösung anzeigen
Ja, (3 | −6 | 9) = −3 · (−1 | 2 | −3).
Berechne 2 · (1 | 0 | −2) − (3 | 1 | 1).
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(2 | 0 | −4) − (3 | 1 | 1) = (−1 | −1 | −5)
Abstand von P(1 | 1 | 1) und Q(4 | 5 | 1)?
Lösung anzeigen
PQ = √(9 + 16 + 0) = 5
Häufige Fehler vermeiden
Der Verbindungsvektor wird als A − B berechnet.
„Spitze minus Fuß“: AB = B − A. A − B zeigt in die Gegenrichtung.
Beim Betrag werden die Koordinaten addiert statt quadriert.
|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²), wie beim Satz des Pythagoras.
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 12 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.