Geraden im Raum und ihre Lagebeziehungen
Du stellst Geradengleichungen in Parameterform auf, prüfst Punktproben und untersuchst, ob zwei Geraden sich schneiden, parallel oder windschief sind.
Worum es geht
Eine Gerade im Raum wird durch einen Punkt und eine Richtung festgelegt. Die Parameterform lautet:
g: x = p + t · u (t ∈ ℝ)
Dabei ist p der Stützvektor (Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden) und u der Richtungsvektor. Jeder Wert von t liefert einen anderen Punkt der Geraden.
Gerade durch zwei Punkte
Durch A und B: g: x = A + t · (B − A). Für t = 0 erhältst du A, für t = 1 erhältst du B.
Punktprobe
Liegt ein Punkt P auf g? Setze P für x ein und löse für jede Koordinate nach t auf. Kommt in allen drei Zeilen derselbe Wert für t heraus, liegt P auf g.
Lagebeziehungen zweier Geraden
- Sind die Richtungsvektoren kollinear? Wenn ja, prüfst du, ob ein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegt. Liegt er darauf, sind die Geraden identisch, sonst parallel. Wenn nein, geht es mit Schritt 2 weiter.
- Gleichsetzen: p + t · u = q + s · v ergibt drei Gleichungen mit zwei Unbekannten t und s. Löse zwei Gleichungen und prüfe die dritte. Ist sie erfüllt, schneiden sich die Geraden, und den Schnittpunkt erhältst du durch Einsetzen. Ergibt sich ein Widerspruch, sind die Geraden windschief: weder parallel noch schneidend.
Windschiefe Geraden gibt es nur im Raum, nicht in der Ebene. Ein Beispiel sind zwei Straßen, von denen eine auf einer Brücke über die andere führt.
Das musst du dir merken
Gerade: x = p + t · u. Punktprobe: gleicher Parameter in allen Koordinaten. Lagebeziehung: erst Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen, dann gleichsetzen; Widerspruch bedeutet windschief.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
- x: 5 = 1 + 2t → t = 2
- y: 1 = 3 − t → t = 2
- z: 7 = −1 + 4t → t = 2
Ergebnis Ja, P liegt auf g (für t = 2).
Beispiel 2
- Richtungsvektoren nicht kollinear.
- Gleichsetzen: 1 + t = s, t = 3 − s, 2 = 2
- Aus den ersten beiden: 1 + t = 3 − t → t = 1, s = 2. Dritte Zeile 2 = 2 stimmt.
- Schnittpunkt: (1 | 0 | 2) + 1 · (1 | 1 | 0) = (2 | 1 | 2)
Ergebnis Die Geraden schneiden sich in S(2 | 1 | 2).
Übungen
Stelle die Gerade durch A(1 | 2 | 3) und B(4 | 2 | 1) auf.
Lösung anzeigen
g: x = (1 | 2 | 3) + t · (3 | 0 | −2)
Liegt Q(3 | 2 | 4) auf g: x = (1 | 3 | −1) + t · (2 | −1 | 4)?
Lösung anzeigen
x: t = 1, y: t = 1, z: 4 = −1 + 4t → t = 1,25. Nein.
Lage von g: x = (0 | 0 | 0) + t · (1 | 2 | 3) und h: x = (1 | 1 | 1) + s · (2 | 4 | 6)?
Lösung anzeigen
Richtungen kollinear. Punktprobe (1 | 1 | 1) auf g: t = 1, t = 0,5, … Widerspruch. Also parallel.
Darauf solltest du achten
Bei der Punktprobe reicht es, wenn eine Koordinate passt.
Der Parameter t muss in allen drei Koordinatengleichungen gleich sein.
Geraden, die sich nicht schneiden, werden automatisch als parallel bezeichnet.
Im Raum können sie auch windschief sein. Parallel sind sie nur bei kollinearen Richtungsvektoren.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 12 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.