Bestimmtes Integral und Flächenberechnung
Du berechnest bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz und bestimmst Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie zwischen zwei Graphen.
Schritt für Schritt erklärt
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx misst den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a; b]. Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
F ist irgendeine Stammfunktion von f. Die Konstante C fällt bei der Differenz weg. Man schreibt auch [F(x)]ₐᵇ.
Beispiel: ∫₀³ x² dx = [13x³]₀³ = 9 − 0 = 9.
Flächen mit Vorzeichenwechsel
Liegt ein Teil der Fläche unter der x-Achse, heben sich positive und negative Anteile beim Integral teilweise auf. Für den tatsächlichen Flächeninhalt gehst du so vor:
- Nullstellen im Intervall bestimmen.
- Getrennt zwischen den Nullstellen integrieren.
- Die Beträge der Teilintegrale addieren.
∫₀² (x − 1) dx = 0, obwohl die Fläche 2 · ½ · 1 · 1 = 1 beträgt.
Fläche zwischen zwei Graphen
A = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, wenn f im Intervall oberhalb von g liegt. Die Grenzen a und b sind oft die Schnittstellen, die du über f(x) = g(x) bestimmst.
Deutung als Bestand
Integriert man eine Änderungsrate, erhält man die Gesamtänderung. Integrierst du die Zuflussrate eines Wassertanks in Litern pro Minute über 10 Minuten, erhältst du die zugeflossene Wassermenge in Litern.
Merke
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Für echte Flächen getrennt zwischen den Nullstellen integrieren und Beträge addieren. Zwischen zwei Graphen: Integral über (obere minus untere Funktion).
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- Nullstellen: x² − 4 = 0 → x = −2 und x = 2
- F(x) = 13x³ − 4x
- ∫₋₂² (x² − 4) dx = F(2) − F(−2) = (83 − 8) − (−83 + 8) = 163 − 16 = −323
- Die Fläche liegt unter der x-Achse, deshalb Betrag nehmen.
Ergebnis A = 323 ≈ 10,67 FE
Beispiel 2
- Schnittstellen: x = x² → x(x − 1) = 0 → x = 0, x = 1
- Im Intervall liegt f oben (z. B. f(0,5) = 0,5 > 0,25)
- A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [12x² − 13x³]₀¹ = 12 − 13
Ergebnis A = 16 FE
Übungsaufgaben mit Lösungen
∫₁⁴ 2x dx = ?
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[x²]₁⁴ = 16 − 1 = 15
∫₀^π sin x dx = ?
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[−cos x]₀^π = 1 − (−1) = 2
Fläche zwischen f(x) = x³ und der x-Achse über [−1; 1]?
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∫₋₁¹ x³ dx = 0, die Fläche ist aber 2 · ∫₀¹ x³ dx = 2 · 14 = 12.
Ein Tank wird mit r(t) = 4t Litern pro Minute befüllt. Wie viel Wasser fließt in den ersten 5 Minuten zu?
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∫₀⁵ 4t dt = [2t²]₀⁵ = 50 Liter
Typische Fehler
Über eine Nullstelle hinweg wird in einem Stück integriert und das Ergebnis als Fläche angegeben.
Teilflächen unter der x-Achse zählen negativ. Getrennt integrieren und Beträge addieren.
Beim Hauptsatz wird F(a) − F(b) gerechnet.
Obere Grenze minus untere Grenze: F(b) − F(a).
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 12 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.