Die drei binomischen Formeln
Mit den binomischen Formeln multiplizierst du Klammern wie (a + b)² in einem Schritt aus und kannst Terme rückwärts faktorisieren.
So funktioniert es
Manche Produkte kommen so oft vor, dass es sich lohnt, ihr Ergebnis auswendig zu kennen. Das sind die binomischen Formeln:
| Formel | Ausmultipliziert |
|---|---|
| 1. binomische Formel: (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| 2. binomische Formel: (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| 3. binomische Formel: (a + b)(a − b) | a² − b² |
Woher kommen sie?
(a + b)² bedeutet (a + b)(a + b). Ausmultipliziert ergibt das a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Das mittlere Glied 2ab heißt gemischtes Glied. Bei der dritten Formel heben sich die gemischten Glieder gegenseitig auf: (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b².
Anwenden
Bestimme zuerst, was a und was b ist. Bei (3x + 5)² ist a = 3x und b = 5:
- a² = (3x)² = 9x²
- 2ab = 2 · 3x · 5 = 30x
- b² = 25
Also (3x + 5)² = 9x² + 30x + 25.
Rückwärts: Faktorisieren
Erkennst du in einem Term zwei Quadrate und das passende gemischte Glied, kannst du ihn als Quadrat schreiben: x² − 14x + 49 = (x − 7)², denn 2 · x · 7 = 14x. Bei einer Differenz zweier Quadrate hilft die dritte Formel: 16y² − 9 = (4y + 3)(4y − 3).
Kopfrechnen
Die Formeln helfen auch beim Rechnen: 41² = (40 + 1)² = 1 600 + 80 + 1 = 1 681 und 19 · 21 = (20 − 1)(20 + 1) = 400 − 1 = 399.
Kurz gemerkt
(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b². Das gemischte Glied 2ab nie vergessen.
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- a = 2x, b = 7, zweite binomische Formel
- a² = 4x², 2ab = 2 · 2x · 7 = 28x, b² = 49
Ergebnis (2x − 7)² = 4x² − 28x + 49
Beispiel 2
- 25a² = (5a)² und 36 = 6²
- Differenz zweier Quadrate: dritte binomische Formel
Ergebnis 25a² − 36 = (5a + 6)(5a − 6)
Noch nicht sicher?
Binomische Formeln üben: ausmultiplizieren und faktorisieren: Alle drei binomischen Formeln vorwärts und rückwärts üben, mit a, b und 2ab im Lösungsweg und eigenen Termen.
Übungsaufgaben mit Lösungen
(x + 6)² = ?
Lösung anzeigen
x² + 12x + 36
(4y − 1)² = ?
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16y² − 8y + 1
(3a + 2b)(3a − 2b) = ?
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9a² − 4b²
Faktorisiere x² + 10x + 25.
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(x + 5)², denn 2 · x · 5 = 10x.
Berechne 98² mit einer binomischen Formel.
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(100 − 2)² = 10 000 − 400 + 4 = 9 604
Fehler, die Punkte kosten
(a + b)² wird als a² + b² geschrieben.
Das gemischte Glied fehlt: (a + b)² = a² + 2ab + b². Prüfe mit Zahlen: (1 + 2)² = 9, aber 1² + 2² = 5.
Bei (3x + 5)² wird a² als 3x² berechnet.
Die ganze Klammer wird quadriert: (3x)² = 9x².
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 8 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.