Ausmultiplizieren und Ausklammern
Du multiplizierst Summen mit Summen aus und klammerst gemeinsame Faktoren aus, um Terme zu vereinfachen und zu faktorisieren.
Worum es geht
Ausmultiplizieren und Ausklammern sind zwei Richtungen desselben Gesetzes, des Distributivgesetzes. Beim Ausmultiplizieren wird aus einem Produkt eine Summe, beim Ausklammern aus einer Summe ein Produkt.
Zahl oder Variable mal Klammer
Jedes Glied in der Klammer wird mit dem Faktor davor multipliziert: 3x(2x − 5) = 6x² − 15x
Klammer mal Klammer
Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Bei (x + 3)(x − 7) ergibt das x² − 7x + 3x − 21 = x² − 4x − 21. Achte auf die Vorzeichen: Plus mal Minus ergibt Minus.
Ausklammern
Suche den größten gemeinsamen Faktor aller Glieder und schreibe ihn vor eine Klammer. In der Klammer bleibt, was übrig ist, wenn du jedes Glied durch diesen Faktor teilst: 12x² − 18x = 6x(2x − 3)
Kontrolle: Multiplizierst du das Ergebnis wieder aus, muss der Ausgangsterm herauskommen.
Wofür braucht man das?
Ausklammern hilft beim Lösen von Gleichungen: Bei x² − 5x = 0 klammerst du x aus und erhältst x(x − 5) = 0. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also ist x = 0 oder x = 5.
Kurz gemerkt
Ausmultiplizieren: jedes Glied mit jedem Glied multiplizieren und Vorzeichen beachten. Ausklammern: größten gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen und durch Ausmultiplizieren prüfen.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- 2x · x = 2x²
- 2x · 4 = 8x
- −3 · x = −3x
- −3 · 4 = −12
- Zusammenfassen: 2x² + 8x − 3x − 12
Ergebnis 2x² + 5x − 12
Beispiel 2
- Gemeinsamer Zahlenfaktor: 5. Gemeinsame Variablen: a und b.
- 15a²b : 5ab = 3a und 10ab² : 5ab = 2b
Ergebnis 15a²b − 10ab² = 5ab(3a − 2b)
Übungsaufgaben mit Lösungen
Multipliziere aus: 4y(3y − 2)
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12y² − 8y
Multipliziere aus: (x − 5)(x − 2)
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x² − 2x − 5x + 10 = x² − 7x + 10
Klammere aus: 8x³ + 12x²
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4x²(2x + 3)
Löse x² + 6x = 0 durch Ausklammern.
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x(x + 6) = 0, also x = 0 oder x = −6.
Typische Fehler
(x + 3)(x + 4) wird zu x² + 12 ausmultipliziert.
Es fehlen die gemischten Glieder: x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12.
Beim Ausklammern bleibt bei 6x + 6 in der Klammer nur x: 6(x).
Aus 6 wird beim Teilen durch 6 die 1: 6x + 6 = 6(x + 1).
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 8 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.