Kurvendiskussion Schritt für Schritt
Eine vollständige Funktionsuntersuchung mit Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten sowie Verhalten im Unendlichen.
So funktioniert es
Eine Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) beschreibt den Graphen einer Funktion vollständig, ohne ihn zu zeichnen. Am Ende kannst du eine genaue Skizze anfertigen. Die Reihenfolge der Punkte kann sich je nach Schule leicht unterscheiden, der Inhalt ist derselbe.
Die Schritte
- Definitionsbereich: Für ganzrationale Funktionen ist D = ℝ.
- Symmetrie: Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten (ohne Konstante): punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Verhalten für x → ±∞: bestimmt der Summand mit dem höchsten Exponenten.
- y-Achsenabschnitt: f(0)
- Nullstellen: f(x) = 0, oft durch Ausklammern, pq-Formel oder Substitution
- Extrempunkte: f'(x) = 0, Prüfung mit f''
- Wendepunkte: f''(x) = 0, Prüfung mit f'''
- Skizze: alle Punkte eintragen und verbinden
Substitution bei biquadratischen Funktionen
Bei f(x) = x⁴ − 5x² + 4 setzt du z = x². Dann wird z² − 5z + 4 = 0 mit z = 1 oder z = 4. Rücksubstitution: x² = 1 oder x² = 4, also x = ±1 oder x = ±2.
Kontrolle
Bei ganzrationalen Funktionen liegt zwischen zwei benachbarten Extrempunkten immer ein Wendepunkt. Ein Hochpunkt sollte höher liegen als die benachbarten Tiefpunkte. Solche Plausibilitätsprüfungen fangen viele Rechenfehler ab.
Kurz gemerkt
Reihenfolge: Definitionsbereich, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte, Skizze. Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.
So sieht es in der Praxis aus
Beispiel 1
- D = ℝ. Nur ungerade Exponenten: punktsymmetrisch zum Ursprung.
- x → ∞: f(x) → ∞, x → −∞: f(x) → −∞
- f(0) = 0. Nullstellen: x(x² − 3) = 0 → x = 0, x = ±√3 ≈ ±1,73
- f'(x) = 3x² − 3 = 0 → x = ±1. f''(x) = 6x. f''(1) = 6: T(1 | −2). f''(−1) = −6: H(−1 | 2)
- f''(x) = 0 → x = 0, f''' = 6 ≠ 0: W(0 | 0)
Ergebnis Hochpunkt (−1 | 2), Tiefpunkt (1 | −2), Wendepunkt (0 | 0), Nullstellen 0 und ±√3
Beispiel 2
- Substitution z = x²: z² − 10z + 9 = 0
- z = 5 ± √(25 − 9) = 5 ± 4, also z = 9 oder z = 1
- x² = 9 → x = ±3; x² = 1 → x = ±1
Ergebnis Nullstellen −3, −1, 1, 3
Übungen
Welche Symmetrie hat f(x) = 2x⁴ − x² + 3?
Lösung anzeigen
Nur gerade Exponenten: achsensymmetrisch zur y-Achse.
Wie verhält sich f(x) = −x³ + 5x für x → ∞?
Lösung anzeigen
Der Summand −x³ bestimmt das Verhalten: f(x) → −∞.
Nullstellen von f(x) = x³ − 4x?
Lösung anzeigen
x(x² − 4) = 0, also x = 0, x = 2, x = −2.
Darauf solltest du achten
f(x) = x³ − 3x + 1 wird als punktsymmetrisch bezeichnet.
Die Konstante 1 hat den Exponenten 0 (gerade). Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Bei der Substitution wird die Rücksubstitution vergessen und z = 9 als Nullstelle angegeben.
Aus z = x² folgt x = ±√z. Die Nullstellen sind ±3.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 11 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.