Extrempunkte berechnen: Hochpunkt und Tiefpunkt
Du findest Hoch- und Tiefpunkte mit der notwendigen Bedingung f'(x) = 0 und prüfst sie mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechsel.
Schritt für Schritt erklärt
An einem Hochpunkt ist der Funktionswert größer als in der unmittelbaren Umgebung, an einem Tiefpunkt kleiner. Beides heißt Extrempunkt. Dort ist die Tangente waagerecht.
Notwendige Bedingung
f'(x) = 0
Alle Stellen, an denen die Ableitung null ist, sind Kandidaten. Nicht jeder Kandidat ist aber ein Extrempunkt: Bei f(x) = x³ ist f'(0) = 0, trotzdem steigt der Graph auf beiden Seiten. Das ist ein Sattelpunkt.
Hinreichende Bedingung mit f''
- f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0: Hochpunkt (Graph ist rechtsgekrümmt, wie ein Hügel)
- f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0: Tiefpunkt (Graph ist linksgekrümmt, wie ein Tal)
- f''(x₀) = 0: keine Aussage, dann hilft das Vorzeichenwechselkriterium
Vorzeichenwechselkriterium
Wechselt f' an der Stelle x₀ von + nach −, liegt ein Hochpunkt vor. Wechselt f' von − nach +, ein Tiefpunkt. Ohne Vorzeichenwechsel ist es ein Sattelpunkt.
Vorgehen
- f' und f'' bilden.
- f'(x) = 0 lösen.
- Kandidaten in f'' einsetzen.
- y-Koordinaten in f (nicht in f') berechnen.
Lokal und global
Ein Hochpunkt ist zunächst nur lokal der höchste Punkt. Auf einem begrenzten Intervall können auch die Randwerte größer sein. Für das globale Maximum vergleichst du deshalb die Extremwerte mit den Funktionswerten an den Rändern.
Das musst du dir merken
Notwendig: f'(x) = 0. Hinreichend: f''(x) < 0 Hochpunkt, f''(x) > 0 Tiefpunkt. Die y-Koordinate immer in f berechnen.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- f'(x) = 3x² − 6x − 9, f''(x) = 6x − 6
- 3x² − 6x − 9 = 0 → x² − 2x − 3 = 0 → x = 1 ± 2, also x₁ = 3, x₂ = −1
- f''(3) = 12 > 0: Tiefpunkt; f(3) = 27 − 27 − 27 + 2 = −25
- f''(−1) = −12 < 0: Hochpunkt; f(−1) = −1 − 3 + 9 + 2 = 7
Ergebnis Hochpunkt H(−1 | 7), Tiefpunkt T(3 | −25)
Beispiel 2
- Seiten x und 10 − x, Fläche A(x) = x(10 − x) = 10x − x²
- A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5
- A''(x) = −2 < 0: Maximum
Ergebnis Bei x = 5 m: ein Quadrat mit A = 25 m².
Übungsaufgaben mit Lösungen
Extrempunkt von f(x) = x² − 4x + 1?
Lösung anzeigen
f'(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2, f''(2) = 2 > 0, Tiefpunkt T(2 | −3).
Extrempunkte von f(x) = −x³ + 3x?
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f'(x) = −3x² + 3 = 0 → x = ±1. f''(1) = −6: H(1 | 2). f''(−1) = 6: T(−1 | −2).
Hat f(x) = x⁴ in x = 0 einen Extrempunkt?
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f'(0) = 0 und f''(0) = 0. Vorzeichenwechsel von f'(x) = 4x³: von − nach +, also Tiefpunkt T(0 | 0).
Typische Fehler
Die y-Koordinate wird in f' statt in f berechnet und ist dann immer 0.
f' liefert nur die Stelle. Den Funktionswert berechnest du in f.
Aus f''(x₀) = 0 wird geschlossen, dass kein Extrempunkt vorliegt.
f'' = 0 ist kein Gegenbeweis. Dann das Vorzeichen von f' links und rechts prüfen.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 11 ist der häufigste Zeitpunkt.