Binomialverteilung und Bernoulli-Ketten
Du erkennst Bernoulli-Experimente und berechnest Wahrscheinlichkeiten für genau, höchstens und mindestens k Treffer mit der Binomialverteilung.
Worum es geht
Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei mögliche Ausgänge: Treffer (mit Wahrscheinlichkeit p) oder Niete (mit 1 − p). Wird es n-mal unabhängig wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die Zufallsgröße X zählt die Treffer.
Die Formel
P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Der Binomialkoeffizient (n über k) = n!k! · (n − k)! gibt an, auf wie viele Arten sich k Treffer auf n Versuche verteilen lassen. Der Rest der Formel ist die Pfadwahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades mit k Treffern.
Voraussetzungen prüfen
- genau zwei Ausgänge pro Versuch
- gleiche Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
- Versuche unabhängig voneinander
Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Urne ist deshalb keine Bernoulli-Kette.
Höchstens und mindestens
- höchstens k: P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k), die kumulierte Wahrscheinlichkeit
- mindestens k: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
Besonders häufig ist „mindestens einer“: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
Hilfsmittel
Kumulierte Werte entnimmt man Tabellen oder dem Taschenrechner (Funktionen wie binompdf und binomcdf). Achte bei der Eingabe genau darauf, ob „genau“ oder „höchstens“ gefragt ist.
Kurz gemerkt
P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Höchstens k: kumulieren. Mindestens k: 1 − P(X ≤ k − 1). Voraussetzungen: zwei Ausgänge, konstantes p, Unabhängigkeit.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
- n = 10, p = 16, k = 3
- (10 über 3) = 120
- P(X = 3) = 120 · (16)³ · (56)⁷ ≈ 0,1550
Ergebnis Etwa 15,5 %.
Beispiel 2
- P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,95²⁰
- 0,95²⁰ ≈ 0,3585
Ergebnis P(X ≥ 1) ≈ 0,6415, also etwa 64 %.
Übungen
Eine Münze wird 4-mal geworfen. P(genau 2-mal Kopf)?
Lösung anzeigen
(4 über 2) · 0,5⁴ = 6 · 116 = 0,375
Wie oft muss man mindestens würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs über 90 % liegt?
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1 − (56)ⁿ > 0,9 → (56)ⁿ < 0,1 → n > ln 0,1 : ln(56) ≈ 12,6. Also mindestens 13 Würfe.
n = 8, p = 0,3. P(X ≤ 1)?
Lösung anzeigen
0,7⁸ + 8 · 0,3 · 0,7⁷ ≈ 0,0576 + 0,1977 = 0,2553
Darauf solltest du achten
Der Binomialkoeffizient wird weggelassen und nur pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ gerechnet.
Das ist die Wahrscheinlichkeit eines einzigen Pfades. Es gibt (n über k) solcher Pfade.
P(X ≥ 3) wird als 1 − P(X ≤ 3) berechnet.
Das Gegenereignis von „mindestens 3“ ist „höchstens 2“: P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2).
Hinweis zur Klassenstufe
Wir ordnen das Thema Klasse 13 zu, weil es dort in den meisten Lehrplänen vorkommt. Bei dir kann die Reihenfolge abweichen.