Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Du berechnest den Erwartungswert einer Zufallsgröße, beurteilst Spiele als fair oder unfair und misst die Streuung mit Varianz und Standardabweichung.
Schritt für Schritt erklärt
Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu, zum Beispiel einen Gewinn in Euro. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit jeder Wert auftritt.
Erwartungswert
E(X) = μ = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X = x₂) + … + xₙ · P(X = xₙ)
Der Erwartungswert ist der Wert, den man bei sehr vielen Wiederholungen im Durchschnitt erwartet. Er muss selbst kein möglicher Wert sein: Beim Würfel ist E(X) = 3,5.
Faire Spiele
Ein Glücksspiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns (Auszahlung minus Einsatz) null ist. Ist er negativ, verliert der Spieler auf lange Sicht.
Varianz und Standardabweichung
Zwei Zufallsgrößen können denselben Erwartungswert haben, aber unterschiedlich stark streuen.
- Varianz: V(X) = (x₁ − μ)² · P(X = x₁) + … + (xₙ − μ)² · P(X = xₙ)
- Standardabweichung: σ = √V(X)
Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie X und lässt sich deshalb besser deuten.
Bei der Binomialverteilung
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n und p gelten einfache Formeln:
- E(X) = n · p
- V(X) = n · p · (1 − p)
- σ = √(n · p · (1 − p))
Wirft man 600-mal einen Würfel, erwartet man 600 · 16 = 100 Sechsen mit einer Standardabweichung von √(600 · 16 · 56) ≈ 9,13.
Das musst du dir merken
E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ), V(X) = Σ (xᵢ − μ)² · P(X = xᵢ), σ = √V. Binomialverteilung: E = np, V = np(1 − p). Fair heißt: erwarteter Gewinn gleich null.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- Gewinn bei 6: 8 − 2 = 6 €, bei 5: 3 − 2 = 1 €, sonst −2 €
- E(G) = 6 · 16 + 1 · 16 + (−2) · 46 = 66 + 16 − 86 = −16
Ergebnis E(G) ≈ −0,17 €. Das Spiel ist nicht fair, der Spieler verliert im Schnitt etwa 17 Cent pro Spiel.
Beispiel 2
- μ = 3,5
- V = 16 · ((−2,5)² + (−1,5)² + (−0,5)² + 0,5² + 1,5² + 2,5²) = 16 · 17,5
- V ≈ 2,917, σ ≈ 1,708
Ergebnis V = 3512 ≈ 2,92, σ ≈ 1,71
Übungsaufgaben mit Lösungen
X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5; 0,3; 0,2 an. E(X)?
Lösung anzeigen
0 + 0,3 + 0,4 = 0,7
Binomialverteilung mit n = 50 und p = 0,2. E(X) und σ?
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E = 10, σ = √(50 · 0,2 · 0,8) = √8 ≈ 2,83
Welcher Einsatz macht das Würfelspiel aus Beispiel 1 fair?
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Erwartete Auszahlung: 8 · 16 + 3 · 16 = 116 ≈ 1,83 €. Ein Einsatz von 116 € wäre fair.
Typische Fehler
Beim Erwartungswert werden die möglichen Werte einfach gemittelt, ohne Wahrscheinlichkeiten.
Jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet.
Beim fairen Spiel wird die Auszahlung statt des Gewinns gleich null gesetzt.
Fair heißt: Erwartungswert von Auszahlung minus Einsatz ist null, also erwartete Auszahlung gleich Einsatz.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 13 ist der häufigste Zeitpunkt.