Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen
Je mehr Arbeiter, desto weniger Tage: So erkennst du antiproportionale Zuordnungen und rechnest sie mit dem umgekehrten Dreisatz.
So funktioniert es
Eine Zuordnung heißt antiproportional (umgekehrt proportional), wenn gilt: Verdoppelt sich die eine Größe, dann halbiert sich die andere. Verdreifacht sich die eine, wird die andere ein Drittel so groß.
Erkennungszeichen
- In der Wertetabelle ist das Produkt x · y immer gleich.
- Im Koordinatensystem liegen die Punkte auf einer gekrümmten Kurve, einer Hyperbel.
Typische Beispiele: Anzahl der Arbeiter und benötigte Zeit, Geschwindigkeit und Fahrzeit für eine feste Strecke, Anzahl der Personen und Anteil pro Person.
Der umgekehrte Dreisatz
- Bekannter Satz: 4 Arbeiter brauchen 6 Tage.
- Auf eins schließen: 1 Arbeiter braucht 4-mal so lange: 6 · 4 = 24 Tage.
- Auf die gesuchte Menge schließen: 3 Arbeiter brauchen ein Drittel davon: 24 : 3 = 8 Tage.
Der Unterschied zum proportionalen Dreisatz: Wird links geteilt, wird rechts multipliziert und umgekehrt.
Voraussetzung prüfen
Antiproportionale Aufgaben setzen voraus, dass alle gleich schnell arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern. Ob neun Frauen in einem Monat ein Kind bekommen können, zeigt, dass nicht jede Situation antiproportional ist.
Merksatz
Antiproportional heißt: je mehr, desto weniger, und das Produkt bleibt gleich. Beim Dreisatz wird auf der einen Seite geteilt und auf der anderen multipliziert.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
- 12 Pferde ≙ 30 Tage
- 1 Pferd ≙ 30 · 12 = 360 Tage
- 18 Pferde ≙ 360 : 18 = 20 Tage
Ergebnis Der Vorrat reicht 20 Tage.
Beispiel 2
- Strecke bleibt gleich: 80 · 3 = 240 km
- 240 km : 120 km/h = 2 h
Ergebnis Die Fahrt dauert 2 Stunden.
Unbegrenzt weiterüben
Dreisatz üben: proportional und antiproportional: Textaufgaben zum proportionalen und antiproportionalen Dreisatz mit Tabelle und Schluss auf die Einheit, dazu ein Rechner für eigene Werte.
Selbst üben
6 Pumpen leeren ein Becken in 10 Stunden. Wie lange brauchen 4 Pumpen?
Lösung anzeigen
1 Pumpe: 60 h, 4 Pumpen: 15 h.
Ein Geldbetrag reicht für 5 Kinder mit je 12 €. Wie viel bekommt jedes von 6 Kindern?
Lösung anzeigen
Gesamt 60 €, durch 6: 10 € pro Kind.
Proportional oder antiproportional? 2 → 30, 3 → 20, 5 → 12
Lösung anzeigen
Antiproportional, denn 2 · 30 = 3 · 20 = 5 · 12 = 60.
Hier passieren die meisten Fehler
Bei mehr Arbeitern wird mit dem proportionalen Dreisatz gerechnet und es kommen mehr Tage heraus.
Vorher überlegen: Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit. Das Ergebnis muss kleiner werden.
Auf beiden Seiten wird durch dieselbe Zahl geteilt.
Bei antiproportionalen Zuordnungen wird auf der einen Seite geteilt und auf der anderen multipliziert.
Hinweis zur Klassenstufe
Die Einordnung in Klasse 7 folgt verbreiteten Lehrplänen. Maßgeblich ist, was deine Lehrkraft für die Arbeit angekündigt hat.