Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Du bestimmst ggT und kgV über Teilermengen, Vielfachenmengen und die Primfaktorzerlegung und weißt, wofür du beide brauchst.
Erklärung
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. Den ggT brauchst du zum Kürzen, das kgV als Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.
Methode 1: Mengen aufschreiben
Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Gemeinsam sind 1, 2, 3, 6, also ggT(18, 24) = 6.
Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, … Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, … Das erste gemeinsame ist 24, also kgV(6, 8) = 24.
Methode 2: Primfaktorzerlegung
Bei großen Zahlen ist die Zerlegung schneller:
- 84 = 2² · 3 · 7
- 90 = 2 · 3² · 5
ggT: gemeinsame Primfaktoren mit dem kleinsten Exponenten: 2 · 3 = 6.
kgV: alle vorkommenden Primfaktoren mit dem größten Exponenten: 2² · 3² · 5 · 7 = 1 260.
Nützlicher Zusammenhang
Für zwei Zahlen a und b gilt immer: ggT(a, b) · kgV(a, b) = a · b. Bei 84 und 90: 6 · 1 260 = 7 560 = 84 · 90. Damit kannst du dein Ergebnis überprüfen.
Das musst du dir merken
ggT: gemeinsame Primfaktoren mit kleinstem Exponenten. kgV: alle Primfaktoren mit größtem Exponenten. Kontrolle: ggT · kgV = a · b.
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1
- 36 = 2² · 3², 60 = 2² · 3 · 5
- ggT = 2² · 3 = 12
- kgV = 2² · 3² · 5 = 180
- Kontrolle: 12 · 180 = 2 160 = 36 · 60
Ergebnis ggT(36, 60) = 12, kgV(36, 60) = 180
Beispiel 2
- Gesucht ist das kgV(12, 18).
- 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², kgV = 2² · 3² = 36
Ergebnis Nach 36 Minuten, also um 8:36 Uhr.
Unbegrenzt weiterüben
Bruchrechnen üben: Aufgaben mit Lösungsweg: Neue Bruchaufgaben auf Knopfdruck: kürzen, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, mit Lösungsweg und eigener Aufgabe.
Übungen
ggT(42, 56) = ?
Lösung anzeigen
42 = 2 · 3 · 7, 56 = 2³ · 7, ggT = 2 · 7 = 14
kgV(15, 20) = ?
Lösung anzeigen
15 = 3 · 5, 20 = 2² · 5, kgV = 2² · 3 · 5 = 60
Kürze 4256 mit dem ggT.
Lösung anzeigen
ggT = 14: 34
Ein Rechteck von 48 cm mal 30 cm soll ohne Rest in möglichst große Quadrate zerlegt werden. Wie lang ist eine Quadratseite?
Lösung anzeigen
ggT(48, 30) = 6, also 6 cm.
Darauf solltest du achten
ggT und kgV werden verwechselt, als Hauptnenner wird der ggT genommen.
Der Hauptnenner ist ein Vielfaches beider Nenner, also das kgV.
Beim kgV werden nur die gemeinsamen Primfaktoren genommen.
Für das kgV braucht man alle Primfaktoren, jeweils mit dem höchsten Exponenten.
Hinweis zur Klassenstufe
In welcher Klasse genau dieses Thema drankommt, unterscheidet sich zwischen den Ländern. Klasse 6 ist der häufigste Zeitpunkt.