Primzahlen und Primfaktorzerlegung
Du lernst, was Primzahlen sind, wie du sie mit dem Sieb des Eratosthenes findest und wie du jede Zahl in Primfaktoren zerlegst.
Worum es geht
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat: 1 und sich selbst. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Die 1 ist keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar. Zahlen mit mehr als zwei Teilern heißen zusammengesetzte Zahlen, zum Beispiel 12 mit den Teilern 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Das Sieb des Eratosthenes
Schreibe die Zahlen von 2 bis 100 auf. Kreise die 2 ein und streiche alle Vielfachen von 2. Die nächste nicht gestrichene Zahl ist 3: einkreisen, alle Vielfachen streichen. Weiter mit 5 und 7. Danach sind alle übrigen Zahlen bis 100 Primzahlen. Es sind 25 Stück.
Primfaktorzerlegung
Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und zwar nur auf eine Art (wenn man die Reihenfolge nicht beachtet). Du teilst dazu immer wieder durch die kleinste passende Primzahl:
60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1.
Also ist 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
Die Primfaktorzerlegung brauchst du später für den größten gemeinsamen Teiler, das kleinste gemeinsame Vielfache und zum Kürzen von Brüchen.
Kurz gemerkt
Primzahlen haben genau zwei Teiler, 1 ist keine Primzahl. Bei der Primfaktorzerlegung teilst du so lange durch die kleinste mögliche Primzahl, bis 1 übrig bleibt.
Vorgemacht: Beispiele
Beispiel 1
- 84 : 2 = 42
- 42 : 2 = 21
- 21 : 3 = 7
- 7 ist eine Primzahl: 7 : 7 = 1
Ergebnis 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7
Beispiel 2
- 91 ist ungerade, Quersumme 10: nicht durch 2, 3 oder 5 teilbar.
- 91 : 7 = 13
Ergebnis 91 ist keine Primzahl, denn 91 = 7 · 13.
Selbst üben
Zerlege 72 in Primfaktoren.
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72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3²
Zerlege 150 in Primfaktoren.
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150 = 2 · 3 · 5 · 5 = 2 · 3 · 5²
Welche Primzahlen liegen zwischen 30 und 50?
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31, 37, 41, 43, 47
Ist 97 eine Primzahl?
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Ja. Sie ist durch 2, 3, 5 und 7 nicht teilbar, und weil 11 · 11 = 121 größer als 97 ist, muss man nicht weiter prüfen.
Hier passieren die meisten Fehler
1 wird zu den Primzahlen gezählt.
Die 1 hat nur einen Teiler und ist deshalb keine Primzahl.
51 wird für eine Primzahl gehalten, weil sie „krumm“ aussieht.
Quersumme 6, also durch 3 teilbar: 51 = 3 · 17.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 5 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.