Mechanische Schwingungen: Feder- und Fadenpendel
Du beschreibst harmonische Schwingungen mit Amplitude, Periodendauer und Frequenz und berechnest die Schwingungsdauer von Feder- und Fadenpendel.
Das Wichtigste verständlich erklärt
Eine Schwingung ist eine Bewegung, die sich regelmäßig um eine Ruhelage wiederholt: eine Schaukel, ein Uhrpendel, eine schwingende Gitarrensaite.
Kenngrößen
- Auslenkung y: momentaner Abstand von der Ruhelage
- Amplitude ŷ: größte Auslenkung
- Periodendauer T: Zeit für eine volle Schwingung (hin und zurück)
- Frequenz f = 1 : T, Einheit Hertz (Hz)
Harmonische Schwingung
Ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung (F = −D · y), schwingt der Körper harmonisch. Seine Auslenkung lässt sich mit einer Sinusfunktion beschreiben:
y(t) = ŷ · sin(2π · t : T)
Federpendel
Ein Körper der Masse m an einer Feder mit der Federkonstante D:
T = 2π · √(m : D)
Schwerere Körper und weichere Federn schwingen langsamer. Die Amplitude hat keinen Einfluss auf T.
Fadenpendel
Ein kleiner Körper an einem Faden der Länge l schwingt bei kleinen Auslenkungen (bis etwa 10°) näherungsweise harmonisch:
T = 2π · √(l : g)
Die Masse spielt keine Rolle. Ein Pendel mit l ≈ 0,994 m hat eine Periodendauer von etwa 2 s und schlägt damit jede Sekunde einmal in eine Richtung. Galileo Galilei soll die Gleichmäßigkeit der Pendelschwingung an einem schwingenden Kronleuchter beobachtet haben.
Energie und Dämpfung
In der Schwingung wandelt sich Energie ständig um: am Umkehrpunkt nur Lage- bzw. Spannenergie, in der Ruhelage nur Bewegungsenergie. Durch Reibung nimmt die Amplitude ab, die Schwingung ist gedämpft.
Resonanz
Wird ein schwingungsfähiges System periodisch mit seiner Eigenfrequenz angeregt, wächst die Amplitude stark an. Diese Resonanz nutzt man beim Schaukeln, sie kann aber auch Brücken oder Maschinen gefährden.
Das musst du dir merken
Frequenz f = 1/T. Federpendel: T = 2π√(m/D). Fadenpendel: T = 2π√(l/g), unabhängig von der Masse. Resonanz tritt bei Anregung mit der Eigenfrequenz auf.
Beispiele mit Lösungsweg
Beispiel 1
- T = 2π · √(0,5 : 20) = 2π · √0,025 ≈ 2π · 0,158
- f = 1 : T
Ergebnis T ≈ 0,993 s, f ≈ 1,01 Hz
Beispiel 2
- l = g · (T : 2π)²
- l = 9,81 · (1 : 6,283)² ≈ 9,81 · 0,02533
Ergebnis l ≈ 0,248 m, also knapp 25 cm
Übungsaufgaben mit Lösungen
Eine Schaukel braucht für 10 Schwingungen 30 s. Periodendauer und Frequenz?
Lösung anzeigen
T = 3 s, f ≈ 0,33 Hz
Wie ändert sich T beim Fadenpendel, wenn man die Länge vervierfacht?
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T verdoppelt sich.
Wie ändert sich T beim Federpendel, wenn man die Masse vervierfacht?
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T verdoppelt sich.
Hängt die Periodendauer eines Fadenpendels von der Masse ab?
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Nein, nur von der Länge und von g.
Typische Fehler
Beim Fadenpendel soll eine größere Masse schneller schwingen.
T = 2π√(l/g) enthält keine Masse.
Eine Halbschwingung wird als volle Periode gemessen.
Eine Periode umfasst Hin- und Rückweg bis zur Ausgangslage in gleicher Bewegungsrichtung.
Hinweis zur Klassenstufe
Dieses Thema steht in vielen Bundesländern in Klasse 13 auf dem Lehrplan. Je nach Land und Schulform kann es früher oder später kommen.